Lieux géométriques en action : tangente, bande, couronne et intersection de cercles

En comparant une distance à un rayon ou en combinant deux conditions de distance, on obtient de nouveaux lieux : la tangente à un cercle, la bande, la couronne, et les points communs à deux cercles qui servent à construire un triangle.

Objectifs

Réviser les trois lieux de base : cercle, disque et médiatrice.
Déterminer la position d'une droite par rapport à un cercle en comparant la distance du centre à la droite avec le rayon, et construire une tangente.
Décrire une bande et une couronne comme des ensembles de points définis par des distances.
Trouver les points situés à des distances données de deux points (intersection de deux cercles) et construire un triangle connaissant ses trois côtés.

1. Rappel : les lieux de base

Un point \( M \) vérifie \( OM = 2{,}5 \) cm. Par rapport au disque de centre \( O \) et de rayon 3 cm, il est :

à l'extérieur du disque
dans le disque, mais pas sur le cercle de rayon 3 cm
sur le cercle de rayon 3 cm

\( 2{,}5 < 3 \) : \( M \) est dans le disque. Il n'est pas sur le cercle, car il faudrait \( OM = 3 \).

2. Une droite et un cercle : sécante, tangente ou extérieure

On considère un cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \), et une droite \( (d) \). On note \( d \) la distance du centre \( O \) à la droite \( (d) \), mesurée sur la perpendiculaire. On compare \( d \) et \( r \) :

si \( d < r \), la droite coupe le cercle en deux points : elle est sécante ;
si \( d = r \), la droite touche le cercle en un seul point : elle est tangente ;
si \( d > r \), la droite ne rencontre pas le cercle : elle est extérieure.

Exemple résolu 1 : construire une tangente

Trace un cercle de centre \( O \) et de rayon 3 cm, place un point \( A \) sur ce cercle, puis construis la tangente au cercle en \( A \).

Trace le cercle de centre \( O \) et de rayon 3 cm, et place un point \( A \) sur le cercle.

Trace la droite \( (OA) \) : elle porte le rayon \( [OA] \).

Avec l'équerre, trace la perpendiculaire à \( (OA) \) passant par \( A \). Code l'angle droit en \( A \).

Cette perpendiculaire est la tangente : la distance de \( O \) à cette droite est \( OA = 3 \) cm, égale au rayon, donc la droite ne touche le cercle qu'en \( A \).

Un cercle a pour rayon 5 cm. Une droite est à 5 cm de son centre. Combien de points communs ont-ils ?

Aucun
Deux
Un seul : la droite est tangente

La distance du centre à la droite est égale au rayon : \( d = r \). La droite est tangente, elle touche le cercle en un seul point.

3. La bande et la couronne

Exemple résolu 2 : la piste de Korhogo

Un élève se tient à 11 m du piquet, un autre à 9 m, un troisième à 12 m. Lesquels sont sur la piste ? Quelle est la largeur de la piste ?

Voir la solution

La piste est la couronne des points \( M \) tels que \( 10 \leq OM \leq 12 \) (en mètres).

\( 11 \) m : \( 10 \leq 11 \leq 12 \), l'élève est sur la piste.
\( 9 \) m : \( 9 < 10 \), il est à l'intérieur, sur l'herbe du centre.
\( 12 \) m : \( 12 \leq 12 \), il est sur le bord extérieur de la piste, donc sur la piste.

Largeur de la piste : \( 12 - 10 = 2 \) m.

L'ensemble des points situés à 5 m au plus d'une route droite est :

une bande limitée par deux parallèles à la route, à 5 m de part et d'autre
un cercle de rayon 5 m
une seule droite parallèle à la route, à 5 m

« Au plus » signifie « inférieure ou égale » : on obtient toute la bande entre les deux parallèles. Les points à exactement 5 m formeraient seulement les deux droites qui la bordent.

4. Intersection de deux cercles et construction d'un triangle

Les points à 5 pas du baobab \( A \) sont sur le cercle de centre \( A \) et de rayon 5. Les points à 4 pas du puits \( B \) sont sur le cercle de centre \( B \) et de rayon 4. Les points qui vérifient les deux conditions sont les points communs aux deux cercles.

On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 5 cm : C doit être à 5 cm de A.

On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 4 cm : C doit être à 4 cm de B.

Le point commun des deux arcs est C ; on relie A, B et C pour obtenir le triangle.

Exemple résolu 3 : construire le triangle \( ABC \)

Construis un triangle \( ABC \) tel que \( AB = 6 \) cm, \( AC = 5 \) cm et \( BC = 4 \) cm.

Trace le segment \( [AB] \) de 6 cm.

Pique le compas en \( A \), avec un écartement de 5 cm, et trace un arc au-dessus de \( [AB] \).

Pique le compas en \( B \), avec un écartement de 4 cm, et trace un arc qui coupe le premier.

Le point d'intersection est \( C \) : il est à la fois à 5 cm de \( A \) et à 4 cm de \( B \). Trace \( [AC] \) et \( [BC] \).

Exemple résolu 4 : une construction impossible

Peut-on trouver un point à 3 cm de \( A \) et à 4 cm de \( B \) si \( AB = 10 \) cm ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Un tel point \( M \) vérifierait \( MA + MB = 3 + 4 = 7 \) cm. Mais le chemin de \( A \) à \( B \) en passant par \( M \) ne peut pas être plus court que le segment \( [AB] \), qui mesure 10 cm. Comme \( 7 < 10 \), les deux cercles ne se rencontrent pas : aucun point ne convient.

Pour construire un triangle dont on connaît les trois côtés, on place deux sommets puis on trouve le troisième :

sur la médiatrice du premier côté
à l'intersection de deux arcs de cercle centrés sur les deux premiers sommets
au milieu du premier côté

Le troisième sommet doit être à une distance donnée de chacun des deux premiers : il est sur deux cercles à la fois, donc à leur intersection.

5. Erreurs fréquentes

6. Récapitulatif

Une droite est sécante, tangente ou extérieure à un cercle selon que la distance du centre à la droite est inférieure, égale ou supérieure au rayon.
La tangente en un point \( A \) du cercle est perpendiculaire au rayon \( [OA] \).
Les points à une distance au plus \( a \) d'une droite forment une bande ; les points tels que \( r_1 \leq OM \leq r_2 \) forment une couronne.
Les points à des distances données de deux points sont à l'intersection de deux cercles : c'est ainsi qu'on construit un triangle connaissant ses trois côtés.

Droite tangente à un cercle

La distance du centre à la droite est égale au rayon : un seul point commun.

Construire la tangente en \( A \)

Tracer la perpendiculaire au rayon \( [OA] \) passant par \( A \).

Bande

Points à une distance au plus \( a \) d'une droite : entre deux parallèles à cette droite.

Couronne

Points \( M \) tels que \( r_1 \leq OM \leq r_2 \) : entre deux cercles de même centre.

Triangle de côtés connus

Tracer un côté, puis deux arcs de cercle depuis ses extrémités : leur intersection donne le troisième sommet.