Lieux géométriques et cercle
Lieux géométriques : le cercle et la médiatrice
Un lieu géométrique, c'est l'ensemble de tous les points qui respectent une même règle de distance : « à 3 cm d'un point » donne un cercle, « à égale distance de deux points » donne une médiatrice.
Objectifs
- Comprendre ce qu'est un lieu géométrique.
- Reconnaître le cercle comme l'ensemble des points situés à une distance donnée d'un point, et le distinguer du disque.
- Reconnaître la médiatrice d'un segment comme l'ensemble des points équidistants de ses extrémités, et la construire au compas.
- Utiliser ces lieux pour résoudre des problèmes : point équidistant de trois points, cercle circonscrit.
1. Qu'est-ce qu'un lieu géométrique ?
Un lieu géométrique est l'ensemble de tous les points du plan qui vérifient une propriété donnée. Pour décrire un lieu, il faut deux choses :
- tout point du lieu vérifie la propriété ;
- tout point qui vérifie la propriété est sur le lieu.
Dans ce cours, les propriétés portent sur des distances.
2. Le cercle : les points à distance donnée d'un point
Exemple 1 : la chèvre de Tahoua
La chèvre est attachée au piquet \( O \) par une corde de 4 m. Un manguier se trouve à 3,5 m du piquet, et un puits à 5 m. La chèvre peut-elle atteindre le manguier ? le puits ?
Voir la solution
La chèvre peut atteindre tous les points du disque de centre \( O \) et de rayon 4 m, c'est-à-dire les points à 4 m ou moins du piquet.
- Manguier : \( 3{,}5 \leq 4 \), il est dans le disque : la chèvre l'atteint.
- Puits : \( 5 > 4 \), il est hors du disque : la chèvre ne l'atteint pas.
Exemple 2 : dans un repère orthonormé
Les points \( A(3 \,;\, 4) \) et \( B(4 \,;\, 2) \) sont-ils sur le cercle de centre \( O(0 \,;\, 0) \) et de rayon 5 ?
L'ensemble des points situés exactement à 3 cm d'un point \( O \) est :
Lequel de ces points est sur le cercle de centre \( O(0 \,;\, 0) \) et de rayon 5 ?
3. La médiatrice : les points à égale distance de deux points
Construire la médiatrice au compas
On pique le compas en A avec un écartement plus grand que la moitié de AB, et on trace un arc au-dessus et au-dessous du segment.
Sans changer l'écartement, on pique en B et on trace un deuxième arc : les deux arcs se coupent en E et F.
On trace la droite (EF) : c'est la médiatrice de [AB]. Elle coupe [AB] en son milieu I, à angle droit.
Pourquoi ça marche : E est à la même distance de A et de B (le même écartement du compas), donc E est sur la médiatrice ; F aussi.
Exemple 3 : le marché entre deux villages
Les villages \( A \) et \( B \) sont distants de 6 km ; \( I \) est le milieu de \( [AB] \). Le marché \( M \) est placé sur la médiatrice de \( [AB] \), à 4 km de \( I \). Quelle distance chaque habitant parcourt-il jusqu'au marché ?
Le point \( M \) est sur la médiatrice de \( [AB] \) et \( MA = 7 \) cm. Que vaut \( MB \) ?
4. Combiner les lieux : un point à égale distance de trois points
Pour un triangle \( ABC \), les trois médiatrices des côtés se coupent en un même point \( O \), avec \( OA = OB = OC \). Le cercle de centre \( O \) passant par \( A \) passe donc aussi par \( B \) et \( C \) : c'est le cercle circonscrit au triangle.
Exemple 4 : trois hameaux en triangle rectangle
Les hameaux \( A \), \( B \), \( C \) forment un triangle rectangle en \( A \), avec \( AB = 6 \) km et \( AC = 8 \) km. Où placer le forage pour qu'il soit à la même distance des trois hameaux, et à quelle distance sera-t-il de chacun ?
Voir la solution
L'hypoténuse est \( [BC] \). Pythagore : \( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \), donc \( BC = 10 \) km.
Le triangle étant rectangle en \( A \), le centre de son cercle circonscrit est le milieu \( O \) de \( [BC] \). Le forage se place en \( O \), et il est à \( 10 \div 2 = 5 \) km de chacun des trois hameaux.
Un triangle est rectangle et son hypoténuse mesure 12 cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?
5. Erreurs fréquentes
6. Récapitulatif
- Un lieu géométrique est l'ensemble de tous les points qui vérifient une propriété.
- Les points à la distance \( r \) d'un point \( O \) forment le cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \) ; ceux à une distance inférieure ou égale à \( r \) forment le disque.
- Les points à égale distance de \( A \) et de \( B \) forment la médiatrice de \( [AB] \), perpendiculaire à \( [AB] \) en son milieu.
- Les médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit ; pour un triangle rectangle, c'est le milieu de l'hypoténuse.
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