Champ magnétique : les lignes de champ

Les lignes de champ sont les « routes » invisibles que suivrait une petite boussole : en chaque point, le vecteur champ magnétique leur est tangent, et plus elles sont serrées, plus le champ est intense.

Objectifs

Définir le vecteur champ magnétique \( \vec{B} \) (direction, sens, valeur en tesla).
Définir une ligne de champ, l'orienter et connaître ses propriétés.
Représenter les lignes de champ d'un aimant droit, d'un aimant en U, d'un fil rectiligne et d'un solénoïde.
Calculer la valeur du champ créé par un fil rectiligne et par un solénoïde.
Relier les lignes de champ à l'orientation d'une aiguille aimantée et à la force magnétique.

1. Le vecteur champ magnétique

Une région de l'espace où une aiguille aimantée est soumise à des actions magnétiques est le siège d'un champ magnétique. En chaque point M, on le décrit par un vecteur \( \vec{B} \) :

direction : celle de l'axe d'une petite aiguille aimantée placée en M, à l'équilibre ;
sens : du pôle sud vers le pôle nord de l'aiguille (l'aiguille « montre » le sens de \( \vec{B} \) avec son pôle nord) ;
valeur \( B \) : en tesla (\( \text{T} \)), mesurée avec un teslamètre (sonde à effet Hall).

Si plusieurs sources créent des champs au même point, le champ total est la somme vectorielle :

\[ \vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \dots \]

Une aiguille aimantée à l'équilibre en un point M : que donne son pôle nord ?

Le sens du vecteur \( \vec{B} \) en M
La valeur de \( B \) en M
Le sens opposé à \( \vec{B} \)

L'aiguille s'aligne sur \( \vec{B} \) et son pôle nord pointe dans le sens de \( \vec{B} \). Sa valeur se mesure avec un teslamètre.

2. Lignes de champ et spectre magnétique

Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur \( \vec{B} \). Elle est orientée dans le sens de \( \vec{B} \).

L'aimant droit

Place les noms sur le schéma (aimant droit vu de côté, avec ses lignes de champ et une aiguille aimantée à droite).

L'aiguille, sur l'axe à droite du pôle sud, a son pôle nord (rouge) tourné vers l'aimant : elle suit la ligne de champ qui entre dans le pôle sud.

L'aimant en U : un champ uniforme

Entre les deux branches d'un aimant en U, les lignes de champ sont des droites parallèles, régulièrement espacées, allant de la branche nord vers la branche sud. Le vecteur \( \vec{B} \) est alors le même en tout point : le champ est uniforme.

Pourquoi deux lignes de champ ne peuvent-elles pas se croiser ?

Parce que les aimants ont deux pôles
Parce qu'en un point le vecteur \( \vec{B} \) n'a qu'une seule direction
Parce que le champ est toujours uniforme

Au point de croisement, il y aurait deux tangentes, donc deux directions pour \( \vec{B} \), ce qui est impossible.

Sur un spectre, les lignes sont très serrées près des pôles et très écartées loin de l'aimant. Qu'en conclure ?

Le champ est uniforme partout
Le champ est plus faible près des pôles
Le champ est plus intense près des pôles

La densité des lignes traduit la valeur de \( B \) : des lignes serrées indiquent un champ intense.

3. Champ créé par un courant : le fil rectiligne

Autour d'un fil rectiligne très long parcouru par un courant d'intensité \( I \), les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires au fil.

Règle de la main droite : le pouce tendu dans le sens du courant, les doigts repliés indiquent le sens des lignes de champ. (On peut aussi utiliser le bonhomme d'Ampère : couché sur le fil, le courant lui entrant par les pieds et sortant par la tête, regardant le point M, son bras gauche tendu indique le sens de \( \vec{B} \).)

Le fil est perpendiculaire à la feuille, le courant en sort (point). Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil.

Pouce de la main droite vers toi (sens du courant) : les doigts tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On oriente les cercles ainsi.

En un point M à la distance d du fil, le vecteur B est tangent au cercle et suit son orientation.

La valeur du champ en un point M situé à la distance \( d \) du fil vaut :

\[ B = \dfrac{\mu_0 \, I}{2\pi \, d} \qquad \text{avec } \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1} \]

\( B \) est proportionnel à \( I \) et inversement proportionnel à \( d \) : c'est pourquoi les cercles de champ intense sont près du fil. Fais varier le courant et observe :

(Avec \( d \) en centimètres et \( B \) en microtesla, la formule devient \( B = \dfrac{20\, I}{d} \).)

Exemple résolu

Un fil rectiligne est parcouru par un courant \( I = 5\ \text{A} \). Calcule \( B \) à \( d = 2\ \text{cm} \) du fil, puis à \( 4\ \text{cm} \). Cherche d'abord.

Convertir : \( d = 2\ \text{cm} = 2 \times 10^{-2}\ \text{m} \).

\[ B = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 5}{2\pi \times 2 \times 10^{-2}} = \dfrac{2 \times 10^{-7} \times 5}{2 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-5}\ \text{T} = 50\ \mu\text{T} \]

À \( 4\ \text{cm} \), la distance double donc le champ est divisé par deux : \( B = 25\ \mu\text{T} \).

On triple l'intensité du courant dans un fil et on se place deux fois plus loin. Le champ est multiplié par…

\( 6 \)
\( \dfrac{3}{2} \)
\( \dfrac{2}{3} \)

\( B \) est proportionnel à \( I \) (facteur 3) et inversement proportionnel à \( d \) (facteur \( \tfrac{1}{2} \)) : \( 3 \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \).

4. Le solénoïde : un champ uniforme à l'intérieur

Un solénoïde est une bobine longue (longueur grande devant le rayon) formée de \( N \) spires jointives. Parcouru par un courant :

à l'intérieur, loin des extrémités, les lignes de champ sont des droites parallèles à l'axe : le champ est uniforme ;
à l'extérieur, le spectre ressemble à celui d'un aimant droit : le solénoïde a une face nord (d'où sortent les lignes) et une face sud.

\[ B = \mu_0 \, n \, I = \mu_0 \, \dfrac{N}{L} \, I \]

où \( n = \dfrac{N}{L} \) est le nombre de spires par mètre.

Exemple résolu

Un solénoïde de longueur \( L = 25\ \text{cm} \) compte \( N = 500 \) spires et est parcouru par \( I = 2\ \text{A} \). Calcule \( B \) à l'intérieur. Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} n &= \dfrac{N}{L} = \dfrac{500}{0{,}25} = 2000\ \text{spires}\cdot\text{m}^{-1} \\ B &= \mu_0 \, n \, I = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2 \\ B &= 16\pi \times 10^{-4}\ \text{T} \approx 5{,}0 \times 10^{-3}\ \text{T} = 5{,}0\ \text{mT} \end{align}

Ce champ est environ 250 fois plus grand que la composante horizontale du champ terrestre (de l'ordre de \( 2 \times 10^{-5}\ \text{T} \)).

Comment sont les lignes de champ à l'intérieur d'un long solénoïde ?

Des droites parallèles à l'axe, régulièrement espacées
Des cercles autour de l'axe
Des courbes qui se croisent au centre

À l'intérieur, loin des extrémités, le champ est uniforme : lignes parallèles à l'axe et également espacées.

5. Superposition de champs

Exemple résolu

En un point M, un aimant crée \( B_1 = 3\ \text{mT} \) horizontal vers la droite et une bobine crée \( B_2 = 4\ \text{mT} \) vertical vers le haut. Quel est le champ total ? Cherche d'abord.

Les deux vecteurs sont perpendiculaires : on applique le théorème de Pythagore. \[ B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \text{mT} \]

Direction : angle \( \alpha \) avec l'horizontale tel que \[ \tan \alpha = \dfrac{B_2}{B_1} = \dfrac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 53^\circ \]

Une aiguille aimantée placée en M s'oriente donc à environ \( 53^\circ \) au-dessus de l'horizontale, pôle nord vers le haut et la droite.

6. Lignes de champ et force magnétique

Une aiguille aimantée s'oriente tangente à la ligne de champ, pôle nord dans le sens de la ligne.
Un conducteur parcouru par un courant et placé dans le champ subit la force de Laplace \( \vec{F} = I\,\vec{\ell} \wedge \vec{B} \) : elle est perpendiculaire aux lignes de champ et au conducteur, de valeur \( F = I\,\ell\,B\,\sin\alpha \).
Une particule de charge \( q \) et de vitesse \( \vec{v} \) subit la force de Lorentz \( \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \), elle aussi perpendiculaire aux lignes de champ.

Un fil parcouru par un courant est placé parallèlement aux lignes d'un champ uniforme. Quelle force de Laplace subit-il ?

Une force maximale le long des lignes
Une force perpendiculaire maximale
Aucune force

\( F = I\,\ell\,B\,\sin\alpha \) avec \( \alpha = 0 \) donne \( \sin 0 = 0 \) : la force est nulle.

Erreurs fréquentes

Orienter les lignes du sud vers le nord à l'extérieur d'un aimant (c'est l'inverse).
Dessiner des lignes qui se croisent.
Oublier de convertir les centimètres en mètres dans \( B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} \) ou dans \( n = \dfrac{N}{L} \).
Croire que le champ d'un solénoïde dépend de son rayon : pour un solénoïde long, seul \( n \) et \( I \) comptent.
Additionner les valeurs de deux champs non colinéaires au lieu d'additionner les vecteurs.

Récapitulatif

Le champ magnétique se décrit en chaque point par un vecteur \( \vec{B} \), donné par une aiguille aimantée et mesuré en tesla. Les lignes de champ lui sont tangentes, orientées comme lui, ne se croisent pas, et leur densité traduit l'intensité du champ. Un aimant droit a des lignes qui sortent par le nord et entrent par le sud ; un aimant en U et l'intérieur d'un solénoïde donnent un champ uniforme ; un fil rectiligne crée des lignes circulaires orientées par la règle de la main droite. La force magnétique sur un courant ou une charge est toujours perpendiculaire aux lignes de champ.

Ligne de champ

Courbe tangente en chaque point à \( \vec{B} \), orientée dans le sens de \( \vec{B} \).

Aimant : sens des lignes

À l'extérieur, du pôle nord vers le pôle sud.

Champ uniforme

Lignes parallèles et équidistantes : aimant en U, intérieur d'un solénoïde.

Fil rectiligne

Cercles centrés sur le fil ; \( B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} \).

Solénoïde

\( B = \mu_0 \, \dfrac{N}{L} \, I \) à l'intérieur.

Force magnétique

Toujours perpendiculaire aux lignes de champ : \( \vec{F} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} \).