Introduction

La notion de limite aux bornes concerne l'étude du comportement d'une fonction en un extrême de son intervalle de définition, généralement en \\( -\infty, +\infty \), ou en un point précis qui peut être une borne.

Définition

Considérons une fonction \(f\) définie sur un intervalle \\( [a, +\infty[ \) ou \(] -\infty, b] \), ou encore près d'un point \(a\). La limite de \(f(x)\) en une borne \(a\) (qui peut être incluse ou non dans le domaine) est la valeur que \(f(x)\) approche lorsque \(x\) tend vers cette borne.

> La limite aux bornes à droite en \(a\) est notée : \[ \lim_{x \to a^+} f(x) \] > La limite aux bornes à gauche en \(b\) est notée : \[ \lim_{x \to b^-} f(x) \]

Limite en une borne finie (exemples)

Supposons une fonction \(f\) définie sur \\( [a, +\infty [ \). La limite en \(a\) à droite, si elle existe, est :

Exemple : Si \(f(x) = rac{1}{x - 2}\), alors en \(x = 2\), la limite à droite est :

\[ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty \]

car \(f(x)\) devient très grand positivement lorsque \(x\) approche 2 par la droite.

Limite en une borne infinie

Pour une fonction définie sur \\( ]a, +\infty[ \), la limite en \(+\infty\) est l'expression de son comportement lorsque \(x\) devient très grand :

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) \]

Exemple : Si \(f(x) = \frac{3x + 1}{2x - 5}\), alors :

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{2x - 5} = \frac{3}{2} \]

car le degré du numérateur et du dénominateur est le même, le rapport de leurs coefficients de degré supérieur donne la limite.

Calculer une limite aux bornes

Pour calculer une limite en une borne, il faut :

• Analyser le comportement de la fonction lorsque \(x\) s'approche de la borne.
• Utiliser des simplifications, des développements ou des propriétés de limite.

Exemples :

Pour \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\), en \(x \to 2\) :

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \]

Résumé

• La limite aux bornes permet de comprendre le comportement d'une fonction en extrémité de son domaine.
• Elle peut être finie ou infinie.
• Le calcul peut nécessiter simplifications ou limites usuelles.