Introduction

En analyse, étudier la limite d'une fonction en un point donné est essentiel pour comprendre son comportement. La limite aux bornes concerne le comportement de la fonction à l'approche d'un point particulier, souvent une extrémité de son domaine.

Définition

Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle proche de \(a\), sauf peut-être en \(a\). La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) par la gauche, notée \(\lim_{x o a^-}f(x)\), est la valeur que \(f(x)\) approche lorsque \(x\) s'approche de \(a\) en venant par la gauche.

De même, la limite lorsque \(x\) tend vers \(a\) par la droite, notée \(\lim_{x o a^+}f(x)\), correspond à l'approche en venant de la droite.

Limite à une borne finie

Cas 1 : limite finie

Si les deux limites, à gauche et à droite, existent et sont égales, la limite à la borne est aussi cette valeur :

\[\lim_{x o a}f(x) = L \quad ext{si} \quad \lim_{x o a^-}f(x) = \lim_{x o a^+}f(x) = L\]

Cas 2 : limite infinie

Si la fonction tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), on dit que la limite n'est pas finie :

\[ \lim_{x o a}f(x) = \pm\infty \]

Exemple illustratif

Considérons la fonction \(f(x) = rac{1}{x}\).

• Lorsque \(x o 0^+\), \(f(x) o +\infty\).
• Lorsque \(x o 0^-\), \(f(x) o -\infty\).

On observe que la limite à la borne \(0\) n'existe pas car les limites à gauche et à droite ne sont pas égales.

Conclusion

La limite aux bornes permet d'analyser le comportement d'une fonction lorsqu'on s'approche d'une extrémité de son domaine. La compréhension de cette notion est fondamentale pour l'étude des fonctions en analyse.