Objectifs

• Comprendre l'idée de limite à l'aide d'un tableau de valeurs et d'une courbe.
• Connaître les limites des fonctions de référence en \(+\infty\), en \(-\infty\) et en \(0\).
• Utiliser les règles d'opérations sur les limites et reconnaître les formes indéterminées.
• Lever une indétermination simple (polynôme, fonction rationnelle, factorisation).
• Calculer une limite à gauche et à droite et en déduire les asymptotes d'une courbe.

1. L'idée de limite

Prenons la fonction \(f\) définie pour \(x \neq 1\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). On ne peut pas calculer \(f(1)\) (division par \(0\)), mais on peut regarder ce qui se passe près de \(1\) :

Les images se rapprochent de \(2\). On écrit :

2. Limites des fonctions de référence

Ces limites sont à connaître par cœur. Pour \(n\) entier naturel non nul :

La notation \(x \to 0^+\) se lit « \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures » (on arrive par la droite, \(x > 0\)) ; \(x \to 0^-\) signifie qu'on arrive par la gauche (\(x < 0\)).

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Si \(f\) et \(g\) ont des limites, on obtient en général la limite de \(f + g\), \(f \times g\) et \(\dfrac{f}{g}\) en faisant l'opération sur les limites :

• Somme : \(\ell + \ell'\) ; \(\ell + (+\infty) = +\infty\) ; \(+\infty + (+\infty) = +\infty\) ; \(-\infty + (-\infty) = -\infty\).
• Produit : \(\ell \times \ell'\) ; \(\ell \times (+\infty) = +\infty\) si \(\ell > 0\), \(-\infty\) si \(\ell < 0\) ; \((+\infty) \times (-\infty) = -\infty\).
• Quotient : \(\dfrac{\ell}{\pm\infty} = 0\) ; \(\dfrac{\ell}{0}\) avec \(\ell \neq 0\) donne \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le signe (règle des signes).

4. Lever une indétermination

Observe ci-dessous : la courbe de \(x^3 - a x^2\) et celle de \(x^3\). Fais varier \(a\) : près de \(0\) les courbes diffèrent, mais quand \(x\) devient grand elles partent dans la même direction.

Exemple résolu 1

Calculer \(\lim_{x \to -\infty} \left(3x^2 - 5x + 1\right)\).

Exemple résolu 2

Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}\). Cherche d'abord : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers \(+\infty\).

Exemple résolu 3

Calculer \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\).

flowchart TD
A[Je remplace x par la valeur] --> B{Forme indeterminee}
B -- Non --> C[Je conclus avec les regles]
B -- Oui en un reel --> D[Je factorise et je simplifie]
B -- Oui a l infini --> E[Je garde les termes de plus haut degre]
D --> C
E --> C

5. Limite à gauche, à droite et asymptotes

Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\), définie pour \(x \neq 1\).

• Quand \(x \to 1\), le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(0\). Il faut regarder le signe de \(x - 1\).
• Si \(x \to 1^+\) (\(x > 1\)) : \(x - 1 \to 0^+\), donc \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\).
• Si \(x \to 1^-\) (\(x < 1\)) : \(x - 1 \to 0^-\), donc \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\).
• En \(\pm\infty\) : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x}{x} = 2\).

À toi de jouer : la courbe de \(y = b + \dfrac{a}{x - 1}\) a toujours l'asymptote verticale \(x = 1\) (si \(a \neq 0\)) et l'asymptote horizontale \(y = b\). Avec \(a = 3\) et \(b = 2\), on retrouve exactement \(f\), car \(2 + \dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\). Bouge \(b\) et regarde la ligne horizontale suivre.

Exemple résolu 4

Soit \(g(x) = \dfrac{-x + 4}{x + 2}\) pour \(x \neq -2\). Déterminer les asymptotes de sa courbe. Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Écrire \(\infty - \infty = 0\) ou \(\dfrac{\infty}{\infty} = 1\) : ce sont des formes indéterminées.
• Oublier d'étudier le signe du dénominateur quand il tend vers \(0\).
• Penser qu'une limite n'existe pas parce que \(f(a)\) n'existe pas : \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\).
• Garder le terme de plus haut degré pour une limite en un réel : cette règle ne vaut qu'en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Récapitulatif

• \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) : les images se rapprochent de \(\ell\) quand \(x\) se rapproche de \(a\).
• Fonctions de référence : \(x^n \to +\infty\) en \(+\infty\) ; \(\dfrac{1}{x} \to 0\) en \(\pm\infty\) ; \(\dfrac{1}{x} \to \pm\infty\) en \(0^{\pm}\).
• Formes indéterminées : \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\).
• À l'infini : terme de plus haut degré (polynôme) ou quotient des termes de plus haut degré (fonction rationnelle).
• Limite infinie en \(a\) : asymptote verticale \(x = a\) ; limite \(b\) à l'infini : asymptote horizontale \(y = b\).

Cartes mémo