Limite d'une fonction

Introduction

La limite d'une fonction permet de décrire le comportement de cette fonction lorsque la variable d'entrée se rapproche d'une valeur donnée.

Notations

• La limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) s'écrit :
  \( \lim_{x o a} f(x) \)
• Si la limite existe et est un nombre finie \(L\), on dit que la limite de \(f(x)\) lorsque \(x o a\) est \(L\).

Définition intuitive

On dit que la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) est \(L\) si, en approchant \(a\), la valeur de \(f(x)\) se rapproche de \(L\).

Exemples

Exemple 1 : limite simple

Considérons \(f(x) = 2x + 1\). La limite lorsque \(x\) tend vers 3 est :

\[ \lim_{x o 3} (2x + 1) = 2 imes 3 + 1 = 7 \]

Exemple 2 : limite avec une asymptote

Considérons \(f(x) = rac{1}{x - 2}\). La limite lorsque \(x\) tend vers 2 n'existe pas car :

• quand \(x\) approche 2 par la droite (\(x o 2^+\)), \(rac{1}{x-2} o +\infty\)
• quand \(x\) approche 2 par la gauche (\(x o 2^-\)), \(rac{1}{x-2} o -\infty\)

Propriétés importantes

• Si \(f(x)\) tend vers une valeur \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(a\), alors pour toute suite \(x_n o a\), on a \(f(x_n) o L\).
• Si la limite de \(f(x)\) en \(a\) existe et est égale à \(L\), on écrit :
  \[ \lim_{x o a} f(x) = L \]

Conclusion

La notion de limite est fondamentale en analyse car elle permet de comprendre le comportement des fonctions en certains points, notamment lors de la définition de la continuité ou pour étudier les asymptotes.