Limite de fonction

Les limites de fonction

Introduction

La limite d'une fonction en un point est la valeur approchée que la fonction atteint lorsque la variable d'entrée se rapproche d’un certain nombre.

Définition formelle

On dit que la limite de la fonction $f$ en $a$ est $L$, et on note $\lim_{x o a} f(x) = L$ , si pour toute valeur $arepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que, pour tout $x$, si $|x - a| < \delta$, alors $|f(x) - L| < arepsilon$.

Signification intuitive

Lorsque $x$ se rapproche de $a$, la valeur de $f(x)$ se rapproche de $L$.

Exemples simples

$\displaystyle \lim_{x o 2} (3x + 1) = 7 $
$\displaystyle \lim_{x o 0} rac{\sin x}{x} = 1 $ (limite célèbre)

Limites à l'infini

On étudie aussi la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

Exemple : $\displaystyle \lim_{x o +\infty} rac{1}{x} = 0 $

Propriétés importantes

Si $\displaystyle \lim_{x o a} f(x) = L $ et $\displaystyle c$ est une constante, alors $\displaystyle \lim_{x o a} c\cdot f(x) = c \cdot L $.
La limite de la somme est la somme des limites : $\displaystyle \lim_{x o a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x o a} f(x) + \lim_{x o a} g(x)$, à condition que ces dernières existent.

Conclusion

La limite permet d'analyser le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, ce qui est essentiel pour définir la continuité, la dérivabilité, et pour étudier les variations des fonctions.