Limite et continuité

Chercher une limite, c'est regarder vers quelle valeur se dirige \(f(x)\) quand \(x\) s'approche d'un nombre ou part très loin ; une fonction est continue en un point quand sa courbe arrive exactement à ce point, sans saut.

Objectifs

Comprendre et noter la limite d'une fonction en un réel et en \(+\infty\) ou \(-\infty\).
Connaître les limites des fonctions de référence et les règles d'opération.
Reconnaître une forme indéterminée et la lever (factorisation, terme de plus haut degré).
Interpréter graphiquement une limite : asymptote verticale, asymptote horizontale.
Étudier la continuité d'une fonction en un point, en particulier pour une fonction définie par morceaux.

1. Limite finie en un réel

Dire que \(f\) a pour limite \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(a\) signifie que \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est assez proche de \(a\). On note

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \ell. \]

Exemple résolu 1

Calcule \(\lim\limits_{x \to 2} (3x^2 - x + 1)\). Cherche d'abord, puis dévoile.

Voir la solution

C'est un polynôme, défini en 2 : \(\lim\limits_{x \to 2} (3x^2 - x + 1) = 3 \times 4 - 2 + 1 = 11\).

Exemple résolu 2 : une forme \(\frac{0}{0}\)

On cherche \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). En remplaçant, on obtient \(\frac{0}{0}\) : on ne peut pas conclure directement.

On factorise le numérateur : \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\).

Pour \(x \neq 1\), on simplifie : \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\).

Donc \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) ?

\(0\)
\(3\)
\(6\)
La limite n'existe pas

\(\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3\) pour \(x \neq 3\), qui tend vers \(6\).

2. Limite infinie en un réel et asymptote verticale

Quand \(x\) s'approche de 0 par valeurs positives, \(\dfrac{1}{x}\) devient aussi grand que l'on veut : \(\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\). Par valeurs négatives : \(\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty\). On parle de limite à droite et de limite à gauche.

Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty\) ou \(-\infty\) (à droite ou à gauche), la droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale à la courbe de \(f\).

Exemple résolu 3

Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\). Étudie la limite de \(f\) quand \(x\) tend vers 3 par la droite.

Numérateur : \(2 \times 3 + 1 = 7\), il tend vers \(7 > 0\).

Dénominateur : si \(x > 3\), \(x - 3 > 0\) et \(x - 3\) tend vers 0. On note \(x - 3 \to 0^+\).

Règle du signe : \(\dfrac{7}{0^+}\) donne \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty\). De même \(\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty\).

La droite \(x = 3\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}\) ?

\(0\)
\(+\infty\)
\(-\infty\)
\(+\infty\) à droite et \(-\infty\) à gauche

\(x^2\) est toujours positif et tend vers 0, donc \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\) des deux côtés.

3. Limites en l'infini et asymptote horizontale

Limites des fonctions de référence

Fonction	en \(+\infty\)	en \(-\infty\)
\(x^n\) (\(n \ge 1\))	\(+\infty\)	\(+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair
\(\sqrt{x}\)	\(+\infty\)	non définie
\(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{x^n}\)	\(0\)	\(0\)

Si \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) (ou en \(-\infty\)), la droite d'équation \(y = \ell\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\).

Opérations et formes indéterminées

On calcule souvent les limites de sommes, produits et quotients en combinant les limites, avec des règles intuitives : \(+\infty + \ell = +\infty\), \(\ell \times (+\infty) = +\infty\) si \(\ell > 0\), \(\dfrac{\ell}{\pm\infty} = 0\)… Quatre cas ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées.

\[ \infty - \infty, \qquad 0 \times \infty, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac{0}{0}. \]

Exemple résolu 4

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x + 1)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} (2x^3 - 5x + 1)\).

Voir la solution

On a une forme \(\infty - \infty\). Le terme de plus haut degré est \(2x^3\) :

\[ \lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} (2x^3 - 5x + 1) = \lim_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty. \]

Exemple résolu 5

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}\) et interprète graphiquement.

Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\) : on garde les termes de plus haut degré.

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3\).

La droite d'équation \(y = 3\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).

Manipule les curseurs : la courbe de \(f(x) = \dfrac{ax + 1}{x - b}\) a une asymptote verticale \(x = b\) et une asymptote horizontale \(y = a\). Avec \(a = 2\) et \(b = 3\), tu retrouves la fonction de l'exemple 3.

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x - 2}{2x + 7}\) ?

\(\dfrac{5}{2}\)
\(-\dfrac{2}{7}\)
\(+\infty\)
\(0\)

On garde les termes de plus haut degré : \(\dfrac{5x}{2x} = \dfrac{5}{2}\). La droite \(y = \dfrac{5}{2}\) est asymptote horizontale.

Laquelle de ces situations est une forme indéterminée ?

\(+\infty + (+\infty)\)
\(\dfrac{3}{+\infty}\)
\(2 \times (+\infty)\)
\(0 \times (+\infty)\)

\(0 \times \infty\) est indéterminée. Les autres donnent \(+\infty\), \(0\) et \(+\infty\).

4. La continuité

Soit \(f\) définie sur un intervalle contenant \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) si

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]

\(f\) est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points.

Pour une fonction définie par morceaux, on compare en \(a\) la limite à gauche, la limite à droite et \(f(a)\) : la fonction est continue en \(a\) si ces trois nombres sont égaux.

Sur la figure, \(g(x) = x\) si \(x < 1\) et \(g(x) = x + 2\) si \(x \ge 1\). La limite à gauche en 1 vaut 1, mais \(g(1) = 3\) : la courbe saute, \(g\) n'est pas continue en 1.

Exemple résolu 6 : trouver le paramètre

Soit \(f(x) = x^2 + m\) si \(x \le 2\) et \(f(x) = 3x - 1\) si \(x > 2\). Pour quelle valeur de \(m\) la fonction \(f\) est-elle continue en 2 ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} f(2) &= \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + m = 4 + m \\ \lim_{x \to 2^+} f(x) &= 3 \times 2 - 1 = 5 \end{align}

\(f\) est continue en 2 si \(4 + m = 5\), c'est-à-dire \(m = 1\).

Soit \(h(x) = 2x + 1\) si \(x < 0\) et \(h(x) = x^2 + 1\) si \(x \ge 0\). La fonction \(h\) est-elle continue en 0 ?

Non, car elle change d'expression en 0
Oui, car la limite à gauche, la limite à droite et \(h(0)\) valent toutes 1
Non, car la limite à gauche vaut 0

À gauche : \(2 \times 0 + 1 = 1\) ; \(h(0) = 0^2 + 1 = 1\). Les trois valeurs sont égales : \(h\) est continue en 0, même si son expression change.

Erreurs fréquentes

Écrire qu'une forme indéterminée vaut 0 ou 1 au lieu de transformer l'expression.
Oublier l'étude du signe du dénominateur pour une limite du type \(\dfrac{\ell}{0}\).
Garder le terme de plus haut degré pour une limite en un réel : cette règle ne vaut qu'en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).
Conclure à la continuité d'une fonction par morceaux sans calculer les deux limites latérales.

Récapitulatif

flowchart TD
A[Calculer une limite] --> B{Remplacer x}
B -->|résultat clair| C[Conclure]
B -->|forme indéterminée| D[Transformer]
D --> E[Factoriser en un réel]
D --> F[Plus haut degré en l infini]
B -->|nombre sur 0| G[Étudier le signe]
G --> H[Asymptote verticale]

Asymptote verticale

Si \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty\), la droite \(x = a\) est asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Si \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\), la droite \(y = \ell\) est asymptote horizontale.

Formes indéterminées

\(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\)

Limite en l'infini d'une fonction rationnelle

Limite du quotient des termes de plus haut degré.

Continuité en \(a\)

\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\) : la courbe se trace sans lever le crayon.