1. Qu'est-ce qu'une limite ?

La limite d'une fonction en un point est une idée qui nous indique la valeur vers laquelle la fonction se rapproche quand on s'approche de ce point. C'est comme si vous voulez connaître la vitesse d'une voiture à un instant précis, mais en réalité, vous ne pouvez jamais y être exactement. La limite vous donne alors la tendance de la vitesse à cet instant.

2. Notation de la limite

On note la limite de la fonction \(f(x)\) en \(a\) par :

    
     \lim_{x 	o a} f(x)

Ce qui signifie : « la valeur que \(f(x)\) approche lorsque \(x\) tend vers \(a\). »

3. Exemple simple

Considérons la fonction \(f(x) = 2x + 3\). Si on veut connaître sa limite en \(x = 1\), on calcule :

    
     \lim_{x 	o 1} (2x + 3) = 2 	imes 1 + 3 = 5

Donc, la limite en 1 est 5. La fonction se rapproche de 5 lorsque \(x\) devient proche de 1.

4. La continuité d'une fonction

Une fonction est continue en un point \(a\) si trois conditions sont remplies :

1. la fonction est définie en \(a\) (\(f(a)\) existe)
2. la limite de la fonction en \(a\) existe (\(\lim_{x o a} f(x)\) existe)
3. la limite en \(a\) est égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire :

    
     \lim_{x 	o a} f(x) = f(a)

Si toutes ces conditions sont réunies, on peut tracer la courbe sans lever le crayon, elle est dite « continue » en ce point.

5. Exemple de fonction continue

La fonction \(f(x) = x^2\) est continue partout, car en tout point \(a\) :

    
     \lim_{x 	o a} x^2 = a^2 = f(a)\)

Donc, elle est continue en tous points du réel.