1. La limite d'une fonction

La limite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) exprime la valeur à laquelle la fonction tend lorsque \(x\) s'approche de \(a\).

On note :
\[ \lim_{x o a} f(x) = L \]
Cela signifie que pour toute séquence \(x_n\) qui tend vers \(a\), la suite \(f(x_n)\) tend vers \(L\).

2. Définition intuitive

Si en se rapprochant de \(a\), la valeur de \(f(x)\) se rapproche d'un nombre \(L\), on dit que \la limite de \(f(x)\) en \(a\) est \(L\). Si cette limite existe, on dit que la limite en ce point est finie ou infinie selon le cas.

3. Exemple simple

Considérons la fonction \(f(x) = 2x\).

Pour \(a = 3\), \(\lim_{x o 3} 2x = 6\).

En effet, lorsque \(x\) se rapproche de 3, \(f(x)\) se rapproche de 6.

4. La notion de continuité

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :

• \(f(a)\) est défini,
• \(\lim_{x o a} f(x)\) existe,
• et \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\).

En résumé, la continuité en \(a\) signifie que la courbe de la fonction ne présente pas de saut ou d'interruption à ce point.

5. Exemple de continuité

La fonction \(f(x) = x^2\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}\). Par exemple, en \(a = 2\),

\(f(2) = 4\),

\(\lim_{x o 2} x^2 = 4\),

et donc \(f\) est continue en 2.

6. Résumé

• La limite \(\lim_{x o a} f(x)\) donne la valeur d'approche de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).
• La fonction est continue en \(a\) si \(f(a)\) existe, la limite en \(a\) existe, et ces deux valeurs sont égales.