Limite et Continuité

1. La limite d'une fonction

La limite d'une fonction \(f\) en un point \(a\) est la valeur vers laquelle \(f(x)\) tend lorsque \(x\) s'approche de \(a\).

Définition formelle

On dit que \(\lim_{x o a} f(x) = L\), si pour toute valeur \(arepsilon > 0\), il existe un \(\delta > 0\) tel que si \(|x - a| < \delta\), alors \(|f(x) - L| < arepsilon\).

Exemples

• Si \(f(x) = 2x\), alors \(\lim_{x o 3} f(x) = 6\).
• Pour \(f(x) = rac{1}{x}\), la limite en 0 n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

2. La continuité d'une fonction

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si trois conditions sont remplies :

• \(f(a)\) est défini.
• \( \lim_{x o a} f(x) \) existe.
• Le limite est égale à la valeur de la fonction : \( \lim_{x o a} f(x) = f(a) \).

Exemples

• La fonction \(f(x) = x^2\) est continue en tout point de \(\mathbb{R}\).
• La fonction \(f(x) = rac{1}{x}\) n'est pas continue en \(x=0\) car elle n'est pas définie en 0.

3. Classement des fonctions selon leur continuité

Les fonctions peuvent être :

• Continu en un point.
• Partie d'une fonction continue (par exemple, fonction dérivée).
• Discontinue en un point (salve, trou, saut).

Résumé

La limite permet de définir la valeur approchée d'une fonction en un point, et la continuité garantit que la fonction ne présente pas de saut ou de trou à ce point.