1. La limite d'une fonction

La limite permet de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante s'approche d'une certaine valeur. C'est comme approcher un mur : on ne veut pas heurter, mais connaître la position la plus proche du mur.

Formellement, on dit que la limite de \(f(x)\) en \(a\) est \(L\), notée \(\lim_{x o a} f(x) = L\), si lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), \(f(x)\) se rapproche de \(L\).

Exemple : si \(f(x) = 2x + 3\), alors \(\lim_{x o 1} f(x) = 2 imes 1 + 3 = 5\).

2. Les propriétés des limites

• Linearité : \(\lim_{x o a} [af(x) + bg(x)] = a \lim_{x o a} f(x) + b \lim_{x o a} g(x)\)
• Limite d'une constante : \(\lim_{x o a} c = c\)
• Si \(\lim_{x o a} f(x) = L\) et \(\lim_{x o a} g(x) = M\), alors :
• \(f(x) + g(x) o L + M\)
• \(f(x) imes g(x) o L imes M\)
• Pour la division, si \(M eq 0\), alors \(rac{f(x)}{g(x)} o rac{L}{M}\)

3. La continuité d'une fonction

Une fonction est continue en un point \(a\) si le graphique de la fonction ne présente pas de saut, de coupure ou d'interruption à ce point.

Formellement, \(f\) est continue en \(a\) si :

• \(\lim_{x o a} f(x)\) existe,
• \(f(a)\) est défini,
• et \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\).

C'est comme une ligne droite : si tu peux relier tous ses points sans lever le crayon, elle est continue.

Exemple :
La fonction \(f(x) = rac{\sin x}{x}\) est continue partout sauf en \(x=0\). Si on veut qu'elle soit continue en 0, on doit définir \(f(0)\) par la limite :

\( \lim_{x o 0} rac{\sin x}{x} = 1 \). On définit donc \(f(0) = 1\) pour qu'elle soit continue en 0.