Limite et Continuité

1. La notion de limite

Définition

La limite d'une fonction \(f\) en un point \(a\) est la valeur que \(f(x)\) approche lorsque \(x\) tend vers \(a\).
Formellement, on dit que \(\lim_{x o a} f(x) = L\) si, pour tout \(arepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que :
\[ ext{si } 0 < |x - a| < \delta, ext{ alors } |f(x) - L| < arepsilon \]

Cas particuliers

• La limite en l'infini : \(\lim_{x o +\infty} f(x)\)
• La limite à gauche et à droite pour un point fini

2. Les propriétés des limites

• Limite d'une somme : \(\lim_{x o a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x o a} f(x) + \lim_{x o a} g(x)\)
• Limite d'un produit : \(\lim_{x o a} [f(x) imes g(x)] = \lim_{x o a} f(x) imes \lim_{x o a} g(x)\)
• Limite d'un quotient (avec limite non nulle au dénominateur)

3. La continuité

Définition

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :
1. \(f(a)\) est défini.
2. \(\lim_{x o a} f(x)\) existe.
3. \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\).

Types de continuité

• Continuité simple : en un point unique.
• Continuité sur un intervalle : la fonction est continue en chaque point de cet intervalle.

4. Propriétés importantes

• Une fonction continue sur un intervalle fermé \([a, b]\) atteint ses extrema (théorème de Weierstrass).
• La somme, le produit, et la composition d'une fonction continue sont continues.

5. Exemple d'application

Soit \(f(x) = rac{\sin x}{x}\).
On examine sa limite en \(a = 0\).
À cause de l'indétermination, on utilise la limite fameuse :
\[ \lim_{x o 0} rac{\sin x}{x} = 1 \]

Ensuite, on peut définir une extension continue de \(f\) en posant \(f(0) = 1\).

Conclusion

La compréhension des limites et de la continuité est essentielle pour analyser le comportement des fonctions et établir leur dérivabilité ou intégrabilité.