Limite et Continuité

1. La notion de limite

La limite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) est la valeur vers laquelle \(f(x)\) tend lorsque \(x\) s'approche de \(a\), si cette valeur existe.

Définition formelle : limite en un point

On dit que \(\lim_{x o a} f(x) = L\) si, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que, pour tout \(x\), si \(\left| x - a ight| < \delta\), alors \(\left| f(x) - L ight| < \epsilon\).

2. Calcul des limites

• Les limites aux points où la fonction est continue peuvent se déduire par substitution directe : si \(f\) est continue en \(a\), alors \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\).
• Pour d'autres cas, utiliser des manipulations algébriques ou la connaissance des limites types.

Exemples :

- \(\lim_{x 	o 2} (3x + 1) = 3 	imes 2 + 1 = 7\)
- \(\lim_{x 	o 0} rac{\sin x}{x} = 1\)

3. La continuité d'une fonction

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :

• \(f(a)\) est défini (la fonction possède une valeur en \(a\)),
• \(\lim_{x o a} f(x)\) existe,
• et \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\).

Types de continuités :

• Continuité simple : en un point précis.
• Continuité sur un intervalle : la fonction est continue en tout point de l'intervalle.

4. Exemples illustratifs

Exemple 1 : \(f(x) = x^2\). Cette fonction est continue sur \(\mathbb{R}\) et \(\lim_{x o a} x^2 = a^2\).

Exemple 2 : \(f(x) = rac{\sin x}{x}\) pour \(x eq 0\), et \(f(0) = 1\). Elle est continue en 0 car la limite existe et vaut 1, égal à la valeur de la fonction en 0.

Conclusion

Les notions de limite et de continuité sont fondamentales en analyse. Elles permettent d’étudier la précision des valeurs d'une fonction à proximité de certains points et d’assurer la stabilité des comportements locaux.