Les limites de fonction : Limite aux bornes

Introduction

Les limites de fonction permettent de décrire le comportement d'une fonction quand l'entrée (la variable)
approche une certaine valeur. Lorsqu'on parle de « limite aux bornes », on s'intéresse à la valeur que
la fonction prend quand la variable approche une borne appartenant à l'ensemble de définition.

Les cas de limite aux bornes

• La limite en une borne finie (une valeur précise) : si la fonction se comporte bien près de cette borne.
• La limite en l'infini ou en moins l'infini : lorsque la variable devient très grande ou très petite.

Définition des limites aux bornes finies

Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle approchant une valeur \(a\).
On dit que la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\) est \(L\) si, lorsque \(x\) est proche de \(a\), \(f(x)\) est proche de \(L\).

Limite en une borne finie

Pour une fonction \(f\) et une valeur \(a\), si :

• \(f(x)\) devient proche de \(L\) quand \(x\) s'approche de \(a\) par la gauche (limite à gauche):
  \[ \lim_{x o a^-} f(x) = L \]
• \(f(x)\) devient proche de \(L\) quand \(x\) s'approche de \(a\) par la droite (limite à droite):
  \[ \lim_{x o a^+} f(x) = L \]

Si ces deux limites sont égales, alors on dit que la limite en \(a\) existe et vaut \(L\):
\[ \lim_{x o a} f(x) = L \]

Exemple simple

Considérons la fonction \(f(x) = 2x + 1\). La limite quand \(x\) tend vers 3 est:
\[ \lim_{x o 3} (2x + 1) = 2 imes 3 + 1 = 7 \]

Limite en l'infini

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), on étudie le comportement de la fonction à très grande ou très petite valeur.
Exemple : pour \(f(x) = rac{1}{x}\),
\[ \lim_{x o +\infty} rac{1}{x} = 0 \quad ext{et} \quad \lim_{x o -\infty} rac{1}{x} = 0 \]

Résumé

• La limite aux bornes permet de décrire le comportement d'une fonction à proximité d'une valeur précise ou à l'infini.
• Il faut vérifier si la limite à gauche et à droite d'une borne finie sont égales pour que la limite existe.

Les limites aux bornes sont essentielles pour comprendre le comportement d'une fonction surtout dans l'étude des dérivées et des intégrales.