Limites et asymptotes : prévoir où va une courbe quand on s'approche d'un bord

Une limite dit vers quoi se rapproche \(f(x)\) quand \(x\) s'approche d'un nombre ou de l'infini ; une asymptote est la droite que la courbe longe de plus en plus près à ce moment-là.

Objectifs

Calculer une limite en l'infini et en un point, à l'aide des limites usuelles et des opérations.
Reconnaître et lever une forme indéterminée.
Calculer des limites à gauche et à droite d'un point.
Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques d'une courbe et la position de la courbe par rapport à elles.
Décrire le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine.

1. Limites en l'infini

Dire que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) signifie que \(f(x)\) devient aussi proche que l'on veut de \(\ell\) dès que \(x\) est assez grand. Dire que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) signifie que \(f(x)\) dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, dès que \(x\) est assez grand.

Opérations et formes indéterminées

On combine les limites comme on l'attend (somme, produit, quotient), sauf dans quatre cas où le résultat dépend de la fonction : ce sont les formes indéterminées.

\[ \infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0} \]

Face à une forme indéterminée, on transforme l'écriture : factorisation par le terme dominant, simplification, quantité conjuguée.

Exemple résolu 1 : une fonction rationnelle

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2-5x+1}{x^2+4}\).

Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\).

On factorise par \(x^2\) : \(\dfrac{x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)} = \dfrac{3-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}\).

Les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0, donc la limite vaut \(\frac{3}{1} = 3\).

Exemple résolu 2 : la quantité conjuguée

Calcule \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\).

Voir la solution

Forme \(\infty - \infty\). On multiplie et divise par la quantité conjuguée :

\begin{align} \sqrt{x^2+1} - x &= \frac{\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)}{\sqrt{x^2+1} + x} \\ &= \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}. \end{align}

Le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc la limite vaut 0.

Que vaut \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2-5x+1}{6x^2+4}\) ?

3
\(\frac{1}{2}\)
\(+\infty\)

Quotient des termes dominants : \(\frac{3x^2}{6x^2} = \frac{1}{2}\).

Laquelle de ces situations est une forme indéterminée ?

\(+\infty + (+\infty)\)
\(+\infty - (+\infty)\)
\(2 \times (+\infty)\)

\(+\infty + \infty = +\infty\) et \(2 \times \infty = +\infty\) sont déterminées ; seule la différence \(\infty - \infty\) dépend des fonctions.

2. Limites en un point et limites latérales

Quand \(f\) n'est pas définie en \(a\), on étudie \(f(x)\) pour \(x\) proche de \(a\) :

\(\lim\limits_{x \to a^-} f(x)\) : limite à gauche (\(x < a\)) ;
\(\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\) : limite à droite (\(x > a\)).

Exemple résolu 3

Étudie \(g(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}\) au voisinage de \(-2\).

Numérateur : en \(x=-2\), \(3 \times (-2) + 1 = -5\). Dénominateur : \(x+2 \to 0\).

À droite (\(x > -2\)) : \(x+2 \to 0^+\), donc \(g(x) \to \frac{-5}{0^+} = -\infty\).

À gauche (\(x < -2\)) : \(x+2 \to 0^-\), donc \(g(x) \to \frac{-5}{0^-} = +\infty\).

Exemple résolu 4 : une forme \(\frac{0}{0}\)

Calcule \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}\).

Voir la solution

Forme \(\frac{0}{0}\). On factorise : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc pour \(x \neq 2\), \(\dfrac{x^2-4}{x-2} = x+2\). La limite vaut \(2+2 = 4\). Ici, il n'y a pas d'asymptote : la courbe est la droite \(y=x+2\) privée du point \((2\,;4)\).

Que vaut \(\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x-2}\) ?

\(-\infty\)
0
\(+\infty\)

Pour \(x > 2\), \(x-2\) est positif et proche de 0 : \(\frac{1}{0^+} = +\infty\).

3. Les asymptotes

Asymptote	Condition	Équation
Verticale	\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) (à gauche ou à droite)	\(x = a\)
Horizontale	\(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = b\) (nombre réel)	\(y = b\)
Oblique	\(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax+b)\big] = 0\) avec \(a \neq 0\)	\(y = ax+b\)

Pour choisir la bonne recherche :

flowchart TD
A[Limite de f aux bornes] --> B{En un point a}
A --> C{En plus ou moins infini}
B -->|limite infinie| D[Asymptote verticale x egal a]
C -->|limite finie b| E[Asymptote horizontale y egal b]
C -->|limite infinie| F[Chercher une asymptote oblique]

Position relative : on étudie le signe de \(f(x) - (ax+b)\). S'il est positif, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; s'il est négatif, elle est en dessous.

Exemple résolu 5 : étude complète

Soit \(f(x) = \dfrac{2x^2+x-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Division : \((x-1)(2x+3) = 2x^2 + x - 3\), donc \(2x^2+x-1 = (x-1)(2x+3) + 2\) et \(f(x) = 2x+3+\dfrac{2}{x-1}\).

Asymptote verticale : en \(x=1\), le numérateur vaut \(2+1-1 = 2\). \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.

Asymptote oblique : \(f(x) - (2x+3) = \dfrac{2}{x-1} \to 0\) en \(\pm\infty\) : la droite \(y = 2x+3\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Position : \(\dfrac{2}{x-1} > 0\) pour \(x > 1\) (courbe au-dessus de l'asymptote) et \(< 0\) pour \(x < 1\) (courbe en dessous).

Fais varier le coefficient \(k\) dans \(f(x) = kx + 3 + \frac{2}{x-1}\) : la courbe change d'orientation, mais elle colle toujours à sa droite asymptote \(y = kx+3\) loin de \(x = 1\).

Avec \(k = 0\), l'asymptote devient horizontale : \(y = 3\).

On sait que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 5\). Que peut-on en déduire ?

La droite \(y=5\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).
La droite \(x=5\) est asymptote verticale.
La courbe admet une asymptote oblique.

Une limite finie \(b\) en l'infini donne une asymptote horizontale d'équation \(y=b\).

Pour \(f(x) = 2x+3+\dfrac{2}{x-1}\), quelle droite est asymptote oblique en \(+\infty\) ?

\(x = 1\)
\(y = 2x\)
\(y = 2x+3\)

\(f(x) - (2x+3) = \frac{2}{x-1}\) tend vers 0 : c'est \(y=2x+3\). La droite \(x=1\) est verticale.

Erreurs fréquentes

Oublier de distinguer gauche et droite quand le dénominateur s'annule : les deux limites peuvent être de signes opposés.
Croire qu'un \(\frac{0}{0}\) donne toujours une asymptote verticale : après simplification, la limite peut être finie (exemple 4).
Utiliser la règle du terme dominant en un point fini : elle ne vaut qu'en \(\pm\infty\).
Conclure à une asymptote oblique sans montrer que \(f(x)-(ax+b)\) tend vers 0.
Confondre les équations : une asymptote verticale s'écrit \(x = a\), une horizontale \(y = b\).

Récapitulatif

Formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ; on les lève en factorisant, simplifiant ou utilisant la quantité conjuguée.
En \(\pm\infty\), polynômes et fractions rationnelles se comportent comme leurs termes dominants.
\(\frac{k}{0^\pm}\) avec \(k \neq 0\) donne \(\pm\infty\) : étudier le signe à gauche et à droite.
Asymptote verticale \(x=a\) : limite infinie en \(a\). Horizontale \(y=b\) : limite \(b\) en \(\pm\infty\). Oblique \(y=ax+b\) : \(f(x)-(ax+b) \to 0\).
Position relative : signe de \(f(x) - (ax+b)\).

Les 4 formes indéterminées

∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ / ∞, 0 / 0

Asymptote verticale

Droite x = a quand la limite de f en a est infinie.

Asymptote horizontale

Droite y = b quand la limite de f en l'infini vaut b.

Asymptote oblique

Droite y = ax + b quand f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l'infini.

Quantité conjuguée

Multiplier par √A + B pour lever ∞ − ∞ avec une racine.