Limites et asymptotes : lever les indéterminations, lire la courbe
Limites et asymptotes : lever les indéterminations et lire le comportement d'une courbe
Classe de Terminale · Mathématiques · Thème : fonctions numériques
Calculer une limite, c'est prévoir où va la fonction quand x s'approche d'un nombre ou s'éloigne à l'infini ; les asymptotes sont les droites que la courbe finit par épouser.
Objectifs
- Utiliser les opérations sur les limites et reconnaître les quatre formes indéterminées.
- Lever une indétermination par factorisation, simplification ou expression conjuguée.
- Calculer des limites latérales et en déduire une asymptote verticale.
- Déterminer les asymptotes horizontales et obliques, et la position de la courbe par rapport à elles.
1. Limites usuelles et opérations
Limites de référence
Pour tout entier \(n \geq 1\) :
\[ \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty. \]En Terminale s'ajoutent les croissances comparées :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0. \]Les formes indéterminées
Les règles sur les sommes, produits et quotients donnent presque toujours le résultat, sauf dans quatre cas où il faut transformer l'écriture :
\[ \infty - \infty, \qquad 0 \times \infty, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac{0}{0}. \]Exemple résolu 1 : trois indéterminations, trois méthodes
Calculer : (a) \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 5x)\) ; (b) \(\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) ; (c) \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right)\).
Que vaut \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x + 1}{x - 4}\) ?
2. Limites latérales et asymptote verticale
Définition
Quand une fonction n'est pas définie en \(a\), on étudie séparément la limite à droite (\(x \to a^+\), avec \(x > a\)) et la limite à gauche (\(x \to a^-\), avec \(x < a\)). Si l'une de ces limites est \(+\infty\) ou \(-\infty\), la droite d'équation \(x = a\) est une asymptote verticale à la courbe.
Exemple résolu 2
Soit \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Étudier les limites en 2 et en \(\pm\infty\).
Voir la solution
En 2, le numérateur tend vers \(3 > 0\) et le dénominateur tend vers 0 :
- si \(x \to 2^+\), \(x - 2 \to 0^+\), donc \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\) ;
- si \(x \to 2^-\), \(x - 2 \to 0^-\), donc \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\).
La droite \(x = 2\) est asymptote verticale. En \(\pm\infty\) : \(\frac{x}{x} = 1\), donc \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1\) : la droite \(y = 1\) est asymptote horizontale.
Pour \(g(x) = \dfrac{-2}{x - 1}\), que vaut \(\lim_{x \to 1^+} g(x)\) ?
3. Asymptotes horizontales et obliques
Définitions
- Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\) (ou en \(-\infty\)), la droite \(y = b\) est asymptote horizontale.
- Si \(\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0\) avec \(a \neq 0\) (ou en \(-\infty\)), la droite \(y = ax + b\) est asymptote oblique.
- La position relative se lit sur le signe de \(f(x) - (ax+b)\) : positif, la courbe est au-dessus ; négatif, en dessous.
flowchart TD
A[Limite de f en l infini] --> B{Resultat}
B -->|un nombre b| C[Asymptote horizontale y egal b]
B -->|infini| D[Chercher f moins ax plus b]
D -->|tend vers 0| E[Asymptote oblique]
D -->|sinon| F[Pas d asymptote droite]
Exemple résolu 3 : asymptote oblique d'une fraction rationnelle
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Montrer que la courbe admet une asymptote oblique et préciser la position.
Observez la courbe et son asymptote ; faites varier \(c\) dans \(x + 2 + \frac{c}{x-1}\) : la droite \(y = x+2\) reste asymptote quelle que soit la valeur de \(c\).
La courbe de \(k(x) = 2x - 1 + \dfrac{1}{x^2}\) admet en \(+\infty\) pour asymptote :
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
- Quatre formes indéterminées : \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ; on les lève en factorisant, en simplifiant ou avec l'expression conjuguée.
- Limite infinie en \(a\) (à gauche ou à droite) : asymptote verticale \(x = a\).
- Limite finie \(b\) en l'infini : asymptote horizontale \(y = b\).
- \(f(x) - (ax+b) \to 0\) en l'infini : asymptote oblique \(y = ax + b\) ; le signe de l'écart donne la position.
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