Objectifs

• Lister les « bords » du domaine d'une fonction et savoir quelles limites calculer.
• Calculer des limites à l'infini et en un point, y compris des limites à gauche et à droite.
• Reconnaître une forme indéterminée et choisir la bonne technique pour la lever.
• En déduire les asymptotes verticales, horizontales et obliques, et la position de la courbe.

Étape 1 : repérer les bords du domaine

Avant tout calcul, on écrit l'ensemble de définition \(D_f\) sous forme d'intervalles. Les limites à étudier sont celles aux bornes ouvertes de ces intervalles : \(-\infty\), \(+\infty\), et chaque valeur interdite (à gauche et à droite).

Fonction fil rouge : \(f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x-1}\). La valeur interdite est \(1\), donc \(D_f=]-\infty\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[\). On a quatre limites à chercher : en \(-\infty\), en \(1\) à gauche, en \(1\) à droite et en \(+\infty\).

Étape 2 : limites à l'infini et formes indéterminées

On utilise les limites de référence (\(\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty\), \(\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x}=0\), etc.) et les règles d'opérations. Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées

Exemple résolu 1 : une forme \(\infty-\infty\)

Cherche d'abord \(\lim_{x\to+\infty}(x^2-5x)\).

Exemple résolu 2 : une forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\)

Cherche d'abord \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+1}{x-2}\).

Exemple résolu 3 : une racine carrée (quantité conjuguée)

Cherche d'abord \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\), qui est de la forme \(\infty-\infty\).

Étape 3 : limites en une valeur interdite, à gauche et à droite

Quand le dénominateur tend vers \(0\) et le numérateur vers un nombre \(k\neq 0\), le quotient tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\). Pour savoir lequel, on applique la règle des signes : on détermine le signe de \(k\) et le signe du dénominateur quand on s'approche par la gauche (\(x\to a^-\), c'est-à-dire \(xa\)).

Exemple résolu 4 : la fonction fil rouge en 1

Exemple résolu 5 : une forme \(\dfrac00\)

Cherche d'abord \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\).

Étape 4 : traduire les limites en asymptotes

Dans l'atelier d'Awa, \(\lim_{n\to+\infty}c(n)=200\) : la droite \(y=200\) est asymptote horizontale à la courbe du coût moyen.

Pour \(g(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\) : asymptote horizontale \(y=3\) en \(\pm\infty\) et asymptote verticale \(x=2\).

Exemple résolu 6 : l'asymptote oblique de la fonction fil rouge

On cherche d'abord à écrire \(f(x)\) sous la forme \(ax+b+\) un reste qui tend vers \(0\).

Étape 5 : la position de la courbe par rapport à l'asymptote

On étudie le signe de la différence \(f(x)-(ax+b)\).

Pour la fonction fil rouge, \(f(x)-(x+2)=\dfrac{1}{x-1}\) :

• si \(x>1\), cette différence est positive : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\Delta\) ;
• si \(x<1\), elle est négative : \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\Delta\).

Bilan de la fonction fil rouge

flowchart LR
A[Domaine et bords] --> B[Limites aux bords]
B --> C{Forme indeterminee}
C -->|oui| D[Factoriser ou simplifier]
C -->|non| E[Conclure]
D --> E
E --> F[Asymptotes et position]

Erreurs fréquentes

• Écrire \(\dfrac{1}{0}=\infty\) sans préciser le signe : il faut distinguer \(0^+\) et \(0^-\), donc étudier la gauche et la droite.
• Croire que \(\infty-\infty=0\) ou que \(\dfrac{\infty}{\infty}=1\) : ce sont des formes indéterminées.
• Conclure « asymptote verticale » dès que le dénominateur s'annule, sans regarder le numérateur.
• Annoncer une asymptote oblique \(y=ax+b\) sans démontrer que \(f(x)-(ax+b)\) tend vers \(0\).
• Oublier qu'une asymptote horizontale ou oblique se cherche séparément en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Récapitulatif

1. Écrire \(D_f\) et lister ses bords.
2. Calculer chaque limite ; en cas de forme indéterminée, factoriser par le terme dominant, simplifier ou utiliser la quantité conjuguée.
3. En une valeur interdite, étudier séparément la gauche et la droite avec la règle des signes.
4. Traduire : limite infinie en \(a\) donne \(x=a\) ; limite finie \(b\) à l'infini donne \(y=b\) ; \(f(x)-(ax+b)\to0\) donne \(y=ax+b\).
5. Étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\) pour la position relative.