Introduction

La limite d'une fonction en un point permet de décrire son comportement lorsque la variable indépendante s’approche de ce point. Calculer la limite est essentiel pour analyser la continuité et le comportement asymptotique d’une fonction.

1. Limite simple : cas évident

Si la fonction \(f\) est définie et simple près du point \(a\), la limite est souvent directe :

• Si \(f(x) = c\) (constante), alors \(\displaystyle \lim_{x o a} f(x) = c\).
• Si \(f(x)\) est continue à \(a\), alors \(\displaystyle \lim_{x o a} f(x) = f(a)\).

2. Limite avec des formes indéterminées

Lorsqu’on obtient une forme indéterminée comme \(rac{0}{0}\) ou \(rac{\infty}{\infty}\), il faut utiliser des techniques spécifiques :

• Factorisation : Simplifier l’expression en factorisant le numérateur ou le dénominateur.
• Rationalisation : Éliminer une racine en multipliant par un conjugé.
• Progression par décomposition ou substitution : Réécrire l’expression pour voir sa limite.

Exemple :

Calculons \(\displaystyle \lim_{x o 2} rac{x^2 - 4}{x - 2}\).

Factorisons : \(\displaystyle rac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\).

Pour \(x eq 2\), on simplifie : \(\displaystyle x + 2\).

Donc, \(\displaystyle \lim_{x o 2} x + 2 = 4\).

3. Limite à l’infini

Lorsque \(x o \pm\infty\), on regarde le comportement de la fonction :

• Pour un polynôme, la limite est celle du terme dominant.
• Pour une fraction, on compare le degré du numérateur et du dénominateur :
• Si degré du numérateur > degré du dénominateur, limite tend vers \(\pm\infty\).
• Si degré du numérateur < degré du dénominateur, limite tend vers 0.
• Si degrés égaux, limite est le ratio des coefficients principaux.

Exemple :

Calculons \(\displaystyle \lim_{x o +\infty} rac{3x^2 + 2}{x^2 - 5}\).

Les degrés sont égaux (2), donc :

\( \displaystyle \lim_{x o +\infty} rac{3x^2 + 2}{x^2 - 5} = rac{3}{1} = 3 \).

4. Techniques supplémentaires

• Changement de variable : Parfois, substituer \(t = rac{1}{x}\) pour transformer la limite à l’infini en limite en 0.
• Théorème des valeurs intermédiaires et de la limite : Utiles pour évaluer l’approche de la fonction entre deux points.

Conclusion

Le calcul des limites repose sur la compréhension des formes que prennent la fonction quand \(x\) s’approche d’un point donné ou de l’infini. La maîtrise des techniques de factorisation, de rationalisation et de changement de variable permet de déterminer la limite dans la majorité des cas.