Limites et Continuité des Fonctions

1. La continuité d'une fonction

Une fonction f est dite continue en un point a si la limite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a) :
f est continue en a si :
  lim_x→a f(x) = f(a)

Une fonction est continue sur un intervalle si elle l’est en chaque point de cet intervalle.

2. Propriétés importantes de la continuité

• Si une fonction est continue et bornée sur un intervalle fermé, elle atteint ses bornes (théorème de Weierstrass).
• La somme, le produit, et la composition de fonctions continues sont continues.

3. Thèorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé : Si f est continue sur un intervalle [a, b] et si y est un nombre compris entre f(a) et f(b) (i.e., f(a) < y < f(b) ou inversement),

alors il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = y.

En d’autres termes, une fonction continue prend toutes les valeurs comprises entre ses valeurs extrêmes sur un intervalle.

4. Applications du TVI

• Montage d’équations ou d’inéquations : par exemple, prouver l’existence d’une racine de f(x) = 0.
• Études de variations et de racines à l’aide de la continuité.

5. Résumé

La continuité permet d’assurer qu’une fonction ne présente pas de « saut » ou de « trou » en un point donné, facilitant ainsi l’étude de ses valeurs. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que l’image d’un intervalle par une fonction continue est également un intervalle, ce qui est une propriété fondamentale en analyse.