Limites et continuité des fonctions : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Limites et continuité des fonctions

1. La continuité d'une fonction

Une fonction f est dite continue en un point a si :

f est définie en a (f(a) existe)
la limite de f(x) lorsque x tend vers a existe
la limite de f(x) à a est égale à f(a): lim_x→a f(x) = f(a)

2. La continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé

Si une fonction f est continue sur un intervalle [a, b], et si N est un nombre compris entre f(a) et f(b), alors il existe un point c dans [a, b] tel que :

f(c) = N

Implications

f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) sur [a, b].
Ce théorème permet de démontrer l'existence d'une solution pour une équation f(x) = N dans l'intervalle si f est continue.

Exemple

Si f est continue sur [1, 3], avec f(1) = 2 et f(3) = 5, alors pour N compris entre 2 et 5, il existe au moins un c dans [1, 3] tel que f(c) = N.