Limites et Continuité des Fonctions : Théorème des Valeurs Intermédiaires

Ce cours explique comment la limite d'une fonction et sa continuité garantissent l'existence de valeurs intermédiaires.

Objectifs du cours

Comprendre la notion de limite d'une fonction en un point
Étudier la continuité d'une fonction en un point
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour des fonctions continues

Notions clés

Limite : La valeur que la fonction approche quand on se rapproche d'un point donné.
Continuité : La propriété qu'une fonction n'a pas de saut ou de trou en un point, c'est-à-dire que \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \].
Théorème des valeurs intermédiaires : Si une fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\), alors elle prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

Exemple résolu

Vérifier l'existence d'une racine sur \([1, 3]\) pour la fonction \(f(x) = x^3 - 2x + 1\)

1. Calculons \(f(1)\) et \(f(3)\) :

\[f(1) = 1^3 - 2 \times 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\]

\[f(3) = 3^3 - 2 \times 3 + 1 = 27 - 6 + 1 = 22\]

2. La fonction est continue (polynôme), et on voit que :

3. Si on cherche une autre racine, étant donné que \(f\) est continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs entre 0 et 22, donc toute valeur dans cet intervalle, y compris 0, est atteinte.

Voir la solution

La fonction s'annule en \(x=1\) directement, donc une racine est à \(x=1\). Si l'on voulait vérifier pour une valeur intermédiaire, on peut appliquer le même principe avec une recherche plus fine.

Quelle valeur f(2) ?

3
1
notamment -1

Calculons : \(f(2) = 8 - 4 + 1 = 5\), donc la réponse 1 est incorrecte, la bonne réponse est le numéro 2.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

La limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) décrit le comportement de \(f\) en proximité de \(a\).
Une fonction est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que, pour une fonction continue sur un segment, toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes.