Limites et Continuité des Fonctions : Croissances Comparées et Opérations sur les Limites

1. Croissances Comparées de Fonctions

Étudier la croissance de deux fonctions \(f\) et \(g\) consiste à comparer leur comportement lorsque \(x o a\) ou \(x o +\infty\).

1.1 Notation de comparaison

• extbf{Si} \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = 0\), ext{alors} \quad f(x) ext{ est négligeable par rapport à } g(x)\)
• extbf{Si} \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = L\) (avec \(L eq 0, +\infty\)), ext{alors} \quad \(f\) et \(g\) ont la même croissance asymptotique.
• extbf{Si} \(\lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = +\infty\), ext{alors} \quad \(f\) croît plus vite que \(g\).

Exemple :

Comparer \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = e^x\) lorsque \(x o +\infty\).

Calculons \(\lim_{x o +\infty} rac{x^3}{e^x}\).
Comme \(e^x\) croît plus vite que tout polynôme, on a : \[ \lim_{x o +\infty} rac{x^3}{e^x} = 0 \] Donc, \(x^3\) est négligeable par rapport à \(e^x\) à l'infini.

2. Opérations sur les Limites

Les limites peuvent être combinées à travers différentes opérations en respectant certaines règles :

2.1 Addition et soustraction

Si \(\lim_{x o a} f(x) = L\) et \(\lim_{x o a} g(x) = M\), alors :

• \(\lim_{x o a} [f(x) + g(x)] = L + M\)
• \(\lim_{x o a} [f(x) - g(x)] = L - M\)

2.2 Produit

Si \(L\) et \(M\) existent, alors : \[ \lim_{x o a} f(x) imes g(x) = L imes M \]

2.3 Quotient

Si \(M eq 0\), alors : \[ \lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = rac{L}{M} \]

Attention : si \(M = 0\), la limite peut ne pas exister ou être infinie.

2.4 Limite d’une constante multipliée

Pour toute constante \(k\), :

\[ \lim_{x o a} k imes f(x) = k imes L \]

3. Résumé

• extbf{Croissances comparées} permettent de déterminer quel fonction croit plus vite ou si elles ont la même croissance.
• extbf{Opérations} sur les limites respectent des règles simples : addition, soustraction, produit, quotient, multiplicatif par une constante.
• Les limites sont essentielles pour étudier la continuité et le comportement asymptotique des fonctions.