Limites et continuité des fonctions : Croissances comparées et opérations sur les limites
Limites et Continuité des Fonctions
1. Croissances comparées
Pour analyser la croissance de deux fonctions f et g lorsque x tend vers l'infini ou une limite finie, on utilise la limite du rapport f(x)/g(x).
- Si limx → a f(x)/g(x) = L avec L > 0 :
f et g ont le même comportement de croissance au voisinage de a. - Si limx → a f(x)/g(x) = 0 :
f est négligeable devant g, donc g croît plus vite que f. - Si limx → a f(x)/g(x) = +∞ :
f croît plus vite que g.
2. Opérations sur les limites
Les propriétés fondamentales pour manipuler les limites sont :
- Limx → a (f(x) + g(x)) = limx → a f(x) + limx → a g(x)
- Limx → a (f(x) imes g(x)) = (limx → a f(x)) imes (limx → a g(x))
- Si limx → a g(x) eq 0, alors Limx → a (f(x)/g(x)) = limx → a f(x) / limx → a g(x)
- En cas de limite infinie, il faut faire attention à la nature de f et g.
3. Exemples
Exemple 1 : Croissance comparée
Calculons limx → +∞ rac{x^2}{e^x}.
Comme que x → +∞, x^2 → +∞ et e^x → +∞, et e^x croît plus vite que toute puissance, donc limx → +∞ rac{x^2}{e^x} = 0.
Exemple 2 : Opérations sur les limites
Calculons limx → 0 (sin x / x).
Il est connu que limx → 0 (sin x / x) = 1, donc cette limite existe et vaut 1.
Conclusion
Les limites permettent de comparer la croissance des fonctions et de manipuler analytiquement des expressions. Leur étude est essentielle pour analyser la continuité et le comportement asymptotique des fonctions en classe de Terminale.
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