Limites et continuité des fonctions

1. Limites finies

La limite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) est la valeur approchée par \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\). Elle est notée :

\( \lim_{x o a} f(x) = L \)

Si cette limite existe et est finie, on dit que \(f\) possède une limite finie en \(a\).

2. Limites infinies

Lorsque la valeur de \(f(x)\) devient très grande (positive ou négative) lorsque \(x\) tend vers \(a\), on dit que la limite est infinie. Ceci s'écrit :

\( \lim_{x o a} f(x) = +\infty \) ou \( \lim_{x o a} f(x) = -\infty \)

Exemple : la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x-1}\) a une limite infinie lorsque \(x\) tend vers 1 :

\( \lim_{x o 1} \dfrac{1}{x-1} = +\infty \) si \(x\) approche 1 par la droite, et \(-\infty\) par la gauche.

3. Asymptotes

Définition

Une asymptote est une droite que la courbe d'une fonction approche lorsque la variable tend vers une certaine valeur, +ou - infini ou un point où la fonction n'est pas définie.

Types d'asymptotes

• Asymptote verticale : correspond à une limite infinie en un point particulier. Exemple : \(x = a\) si \(\lim_{x o a} f(x) = \pm \infty\).
• Asymptote horizontale : correspond à une limite finie lorsque \(x o \pm \infty\). Exemple : si \(\lim_{x o +\infty} f(x) = L\), alors la droite \(y = L\) est une asymptote horizontale.
• Asymptote oblique : si la limite de \(rac{f(x)}{x}\) ou de \(f(x) - ax\) est finie et non nulle lorsque \(x o \pm \infty\), alors il existe une droite oblique qui est une asymptote : \(y = ax + b\).

Exemples illustratifs

Exemple 1 : limite infinie et asymptote verticale

Pour \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\), lorsque \(x o 2\), on a :

\( \lim_{x o 2} \dfrac{1}{x-2} = \pm \infty \)

donc l'axe \(x=2\) est une asymptote verticale.

Exemple 2 : limite finie et asymptote horizontale

Pour \(f(x) = rac{3x + 1}{x}\), lorsque \(x o +\infty\), on trouve :

\( \lim_{x o +\infty} rac{3x + 1}{x} = 3 \)

La droite \(y=3\) est donc une asymptote horizontale.

Exemple 3 : asymptote oblique

Considérons \(f(x)= rac{x^2 + x}{x}\). Lorsqu'on simplifie :

\(f(x) = x + 1\)

pour \(x o +\infty\), la courbe approche la droite oblique y = x, qui est une asymptote oblique.

Conclusion

Les limites permettent d'étudier le comportement d'une fonction en un point ou à l'infini. Les asymptotes dressent un portrait des directions que la courbe suit lors de ses extremes ou de ses discontinuités.