Limites et Continuité des Fonctions : Limites Finies, Infinies et Asymptotes
Limites et Continuité des Fonctions
1. Définitions de base
Une limite d'une fonction f(x) en un point a est la valeur que la fonction approche lorsque x tend vers a.
Formellement, on écrit :
limx→a f(x) = L
si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si |x - a| < δ, alors |f(x) - L| < ε.
2. Limites finies et infinies
2.1 Limite finie
Si la limite en a est un nombre réel L, on dit que la fonction admet une limite finie en a.
2.2 Limite infinie
Si lorsque x → a, |f(x)| → +∞, on dit que la limite est infinie, notée :
limx→a f(x) = +∞ ou -∞.
3. Identification des asymptotes
3.1 Asymptote verticale
Une asymptote verticale en x = a existe si la limite de f(x) lorsque x → a+ ou a- est infinie ou négative infinie :
limx→a+ f(x) = ±∞ ou limx→a- f(x) = ±∞.
3.2 Asymptote horizontale
Une asymptote horizontale est une valeur L telle que :
limx→±∞ f(x) = L.
3.3 Asymptote oblique
Lorsque la limite de (f(x) - (ax + b)) lorsque x → ±∞ est 0, avec a ≠ 0, il existe une asymptote oblique ou diagonale :
y = ax + b.
4. Résumé graphique
Les asymptotes donnent une idée du comportement de la fonction pour de grandes valeurs de x ou proches d’un point où la fonction n’est pas définie.
5. Exemple pratique
Considérons la fonction :
f(x) = 1/(x - 2)
- limx→2 f(x) = +∞ si on approche de 2 par la droite, et -∞ par la gauche, ce qui indique une asymptote verticale en x=2.
- limx→±∞ f(x) = 0, donc y=0 est une asymptote horizontale.
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