Comprendre comment une fonction se comporte quand x approche une valeur (ou l'infini) pour repérer limites, discontinuités et asymptotes.

Limites et continuité des fonctions — Limites finies ou infinies, asymptotes

Objectifs

Savoir définir et calculer une limite finie ou infinie.
Relier limites et continuité en un point.
Identifier les asymptotes verticales, horizontales et obliques.

Notions clés

Limite finie

Définition. On dit que la limite de \(f(x)\) en \(a\) est \(L\) si les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent arbitrairement de \(L\) quand \(x\) se rapproche de \(a\) (sans exiger que \(f(a)\) existe). Formellement :

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \).

Si \(\lim_{x\to 1} f(x)=3\) et \(f(1)=5\), la fonction est-elle continue en 1 ?

Non, parce que \(f(1) \neq 3\)
Oui, la limite suffit
Impossible à dire

La continuité exige égalité entre la limite et la valeur : ici ce n'est pas le cas.

Limite infinie et asymptote verticale

Définition. Si \(\lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty\) ou \(-\infty\) (ou de chaque côté), on dit que la fonction a une limite infinie en \(a\) et souvent une asymptote verticale d'équation \(x=a\). Exemple formel :

\( \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \).

Si \(f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}\), que vaut \(\lim_{x\to 2} f(x)\) ?

0
+\infty
La limite n'existe pas mais est finie

Le dénominateur tend vers 0 et est positif des deux côtés, donc la fraction diverge vers +\infty.

Asymptotes horizontales et obliques

Horizontal. Si \(\lim_{x\to \infty} f(x)=L\) (ou \(x\to -\infty\)), alors la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale.

Oblique. Si on peut trouver des réels \(m,p\) tels que \(\lim_{x\to \infty} (f(x)-(mx+p))=0\), alors \(y=mx+p\) est une asymptote oblique. On calcule souvent :

\( m=\lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x},\quad p=\lim_{x\to\infty} (f(x)-mx). \)

Pour \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}\), quelle est l'asymptote horizontale ?

y=2
y=\dfrac{2}{3}
Pas d'asymptote

Le quotient des coefficients dominants donne \(2\).

Exemples résolus

Exemple 1 — Limite finie (forme 0/0)

Enoncé Calculer \(\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}\).

Voir la solution

Étape 1 : factoriser le numérateur.

Étape 2 : simplifier l'expression.

Étape 3 : évaluer la limite de la forme simplifiée.

Raisonnement :

\[\begin{align} \frac{x^2-4}{x-2} &= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \\\\ &= x+2 \\\\ \Rightarrow \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} &= 4 \end{align}\]

Exemple 2 — Asymptote verticale

Enoncé Étudier le comportement de \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\) près de \(x=3\).

Voir la solution

Étape 1 : regarder les signes à droite et à gauche de 3.

Étape 2 : conclure sur les limites unilatérales et l'asymptote.

Calcul :

\[\lim_{x\to 3^-} \frac{1}{x-3} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+} \frac{1}{x-3} = +\infty.\]

Donc \(x=3\) est une asymptote verticale.

Exemple 3 — Asymptote oblique

Enoncé Trouver l'asymptote de \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) pour \(x\to +\infty\).

Voir la solution

Étape 1 : diviser par \(x\) : \(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\).

Étape 2 : identifier la partie linéaire et la partie négligeable.

On écrit :

\[ f(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Comme \(\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}=0\), on a une asymptote oblique \(y=x\) (ici \(m=1, p=0\)).

Quel type d'asymptote a \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) quand \(x\to +\infty\) ?

Horizontale
Verticale
Oblique

La partie dominante est linéaire \(x\), donc oblique.

Erreurs fréquentes

Confondre limite finie et valeur de la fonction.
Oublier d'étudier les limites unilatérales pour détecter une asymptote verticale.
Pour les asymptotes obliques, négliger la partie constante après avoir extrait la pente.

Si \(\lim_{x\to 0} f(x)=1\) mais \(f(0)\) n'est pas définie, que peut-on dire ?

La fonction est continue en 0
La limite existe mais la fonction n'est pas continue en 0
La fonction diverge en 0

La continuité exige que la valeur existe et soit égale à la limite.

Schéma (visualisation)

Représentation schématique d'une fonction avec une asymptote verticale (x=200 dans le repère du dessin), une asymptote horizontale (y=40) et une branche qui tend vers une droite oblique.

Récapitulatif

Limite finie \(\Rightarrow\) comportement local : \(\lim_{x\to a} f(x)=L\).
Limite infinie \(\Rightarrow\) asymptote verticale possible en \(x=a\).
Au plus un asymptote horizontale (par côté infini) ; asymptote oblique si la fonction s'approche d'une droite non horizontale.
Continuité en \(a\) : \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).

Cartes mémo

Limite finie

\(\lim_{x\to a} f(x)=L\) signifie que f(x) s'approche de L quand x s'approche de a.

Limite infinie

Si \(\lim f(x)=\pm\infty\) alors la valeur diverge et on a souvent une asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Si \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L\) alors \(y=L\) est asymptote.

Asymptote oblique

Trouver \(m,p\) tels que \(f(x)\sim mx+p\) quand \(x\to\pm\infty\).