Limites et Continuité des Fonctions : Théorème des Valeurs Intermédiaires

Ce cours explique comment déterminer si une fonction est continue en un point et présente le théorème des valeurs intermédiaires.

Objectifs

Comprendre la notion de limite et de continuité d'une fonction en un point.
Savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Identifier si une fonction est continue ou admet une limite en un point.

Notions clés

Limite d'une fonction en un point

Si pour toute valeur $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que si $ |x - a| < \delta $, alors $ |f(x) - L| < \epsilon $, on dit que la limite de $f$ en $a$ est \\$L\.

Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en $a$ si :

$f(a)$ est défini.
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $ [a, b] $ et que $ N $ est un nombre entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = N$.

Exemple résolu : étude de la continuité de $f(x) = \frac{\sin x}{x} $ à $x=0$

Considérons la fonction $f(x) = \frac{\sin x}{x} $ pour $x \neq 0$, et définissons $f(0) = 1$ pour rendre la fonction continue à $0$.

Étape 1 : Étudier la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0.

Étape 2 : Utiliser la règle de l'Hôpital ou connaître une limite célèbre : \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\].

Étape 3 : Vérifier que $f(0)$ est égal à cette limite. La fonction est donc continue en 0.

Voir la solution

En utilisant la limite connue, on a : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \] En définissant $f(0) = 1$, la fonction devient continue à cette valeur.

Quel est le critère principal pour qu'une fonction soit continue en un point ?

La limite à ce point est différente de la valeur de la fonction.
La limite à ce point existe et est égale à la valeur de la fonction.
La fonction est dérivable en ce point.

C'est la condition clé : la limite doit exister et être égale à la valeur de la fonction.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

La limite en un point donne le comportement de la fonction à proximité de ce point.
Une fonction est continue en $a$ si la limite en $a$ existe, est égale à $f(a)$, et si cette dernière est définie en $a$.
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence de solutions dans des intervalles continus.

Cartes mémo

Limite

Comportement de la fonction près d'un point.

Continuité

Fonction dont la limite en un point est égale à sa valeur en ce point.

Théorème des valeurs intermédiaires

Repose sur la continuité pour garantir l'interpolation de valeurs intermédiaires.

Limites et Continuité des Fonctions : Théorème des Valeurs Intermédiaires

Objectifs

Notions clés

Exemple résolu : étude de la continuité de \(f(x) = \frac{\sin x}{x} \) à \(x=0\)

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Cartes mémo