Limites de suites : limites finies, limites infinies et théorème des gendarmes

Chercher la limite d'une suite, c'est savoir vers quoi ses termes \(u_n\) se rapprochent quand \(n\) devient très grand : un nombre \(\ell\) (la suite converge), \(+\infty\) ou \(-\infty\) (elle diverge), ou rien du tout ; pour la trouver on utilise les suites de référence, les opérations, la comparaison et le théorème des gendarmes.

Objectifs

Comprendre la définition d'une limite finie et d'une limite infinie d'une suite.
Connaître les limites des suites de référence, dont les suites géométriques \(q^n\).
Calculer une limite avec les opérations et lever une forme indéterminée.
Utiliser les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes.

1. Limite finie : la suite converge

Définition. On dit que la suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On note \[\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.\]

Autrement dit : quelle que soit la « bande » choisie autour de \(\ell\), même très étroite, la suite finit par y entrer et n'en ressort plus.

Les termes \(u_n\) se rapprochent d'un nombre \(\ell\), tantôt au-dessus, tantôt en dessous.

On choisit un intervalle ouvert autour de \(\ell\) (une bande). Les premiers termes peuvent être en dehors.

À partir d'un certain rang (ici \(n=5\)), tous les termes sont dans la bande. Si cela reste vrai pour toute bande, aussi étroite soit-elle, la suite converge vers \(\ell\).

Exemple résolu 1 : trouver un rang

Soit \(u_n=\frac{1}{n}\) pour \(n\geq 1\). À partir de quel rang a-t-on \(0<u_n<0{,}01\) ? Cherche d'abord !

Voir la solution

Pour \(n\geq 1\), \(u_n>0\). Et \[\frac{1}{n}<0{,}01\iff n>\frac{1}{0{,}01}\iff n>100.\] Donc à partir du rang \(n=101\), tous les termes sont dans l'intervalle \(]0\,;\,0{,}01[\). On pourrait faire de même avec \(0{,}0001\) (rang \(10\,001\)) : c'est l'idée de la convergence vers \(0\).

Que vaut \(\lim\limits_{n\to+\infty}\left(5+\frac{3}{n^2}\right)\) ?

\(8\)
\(5\)
\(+\infty\)

\(\frac{3}{n^2}\to 0\), donc la suite tend vers \(5+0=5\).

2. Limite infinie

Définition. La suite \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle \(]A\,;\,+\infty[\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On note \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\). De même pour \(-\infty\) avec les intervalles \(]-\infty\,;\,A[\).

Les suites géométriques \(q^n\)

si \(q>1\) : \(\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=+\infty\) ;
si \(q=1\) : \(q^n=1\), la limite est \(1\) ;
si \(-1<q<1\) : \(\lim\limits_{n\to+\infty}q^n=0\) ;
si \(q\leq -1\) : la suite \(q^n\) n'a pas de limite.

Fais varier \(q\) avec le curseur (on trace ici \(y=q^x\) pour \(x\geq 0\), les termes de la suite sont les points d'abscisse entière) : que se passe-t-il quand \(q\) passe au-dessus de \(1\) ?

Quelle est la limite de \(u_n=0{,}8^n\) ?

\(+\infty\)
\(0{,}8\)
\(0\)

\(-1<0{,}8<1\), donc \(0{,}8^n\to 0\).

3. Opérations sur les limites et formes indéterminées

Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to\ell'\) (réels), alors \(u_n+v_n\to\ell+\ell'\), \(u_n v_n\to\ell\ell'\) et, si \(\ell'\neq 0\), \(\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{\ell'}\). Avec les infinis, on applique les règles de signe intuitives (\(+\infty+\infty=+\infty\), \(\ell\times(+\infty)=+\infty\) si \(\ell>0\), \(\frac{\ell}{\pm\infty}=0\)…).

flowchart LR
A[Limite de chaque morceau] --> B{Forme indeterminee}
B -- non --> C[Conclure avec les regles]
B -- oui --> D[Factoriser par le terme dominant]
D --> A

Exemple résolu 2 : un quotient

Calculer la limite de \(u_n=\frac{3n+1}{n+2}\).

Numérateur et dénominateur tendent vers \(+\infty\) : forme \(\frac{\infty}{\infty}\), indéterminée.

On factorise par \(n\) en haut et en bas : \[u_n=\frac{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}=\frac{3+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}.\]

Comme \(\frac{1}{n}\to 0\) et \(\frac{2}{n}\to 0\) : \[\lim_{n\to+\infty}u_n=\frac{3+0}{1+0}=3.\]

Exemple résolu 3 : une différence

Calculer la limite de \(v_n=n^2-5n\). Cherche d'abord !

Voir la solution

\(n^2\to+\infty\) et \(5n\to+\infty\) : forme \(\infty-\infty\). On factorise par \(n^2\) : \[v_n=n^2\left(1-\frac{5}{n}\right).\] Or \(1-\frac{5}{n}\to 1\) et \(n^2\to+\infty\), donc par produit \(v_n\to+\infty\).

Quelle est la limite de \(w_n=\frac{2n^2-1}{5n^2+n}\) ?

\(\frac{2}{5}\)
\(+\infty\)
\(0\)

On factorise par \(n^2\) : \(w_n=\frac{2-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{1}{n}}\to\frac{2}{5}\).

4. Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes

Comparaison (limites infinies)

Si, à partir d'un certain rang, \(u_n\leq v_n\) et \(\lim u_n=+\infty\), alors \(\lim v_n=+\infty\).

Si, à partir d'un certain rang, \(u_n\leq v_n\) et \(\lim v_n=-\infty\), alors \(\lim u_n=-\infty\).

Théorème des gendarmes (limite finie)

Si, à partir d'un certain rang, \[v_n\leq u_n\leq w_n\] et si \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers la même limite \(\ell\), alors \((u_n)\) converge aussi vers \(\ell\).

Observe : la courbe du milieu, \(y=2+\frac{\sin x}{x}\), est coincée entre \(y=2-\frac{1}{x}\) et \(y=2+\frac{1}{x}\). Les deux « gendarmes » tendent vers \(2\).

Exemple résolu 4 : gendarmes

Déterminer la limite de \(u_n=2+\frac{\sin n}{n}\) pour \(n\geq 1\).

On part de \(-1\leq\sin n\leq 1\) et on divise par \(n>0\) : \[-\frac{1}{n}\leq\frac{\sin n}{n}\leq\frac{1}{n}.\]

On ajoute \(2\) : \[2-\frac{1}{n}\leq u_n\leq 2+\frac{1}{n}.\]

Les deux gendarmes tendent vers \(2\) car \(\frac{1}{n}\to 0\). D'après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\).

Exemple résolu 5 : comparaison

Déterminer la limite de \(v_n=n+\cos n\). Cherche d'abord !

Voir la solution

Comme \(\cos n\geq -1\), on a \(v_n\geq n-1\). Or \(n-1\to+\infty\). Par comparaison, \(v_n\to+\infty\).

Quelle est la limite de \(u_n=\frac{(-1)^n}{n^2}\) ?

Elle n'existe pas, car \((-1)^n\) n'a pas de limite
\(0\), par le théorème des gendarmes
\(1\)

\(-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq\frac{1}{n^2}\) et les deux bornes tendent vers \(0\), donc \(u_n\to 0\).

On sait que \(u_n\geq n^2\) pour tout \(n\). Que peut-on dire de \((u_n)\) ?

Elle converge vers \(0\)
On ne peut rien dire
Elle tend vers \(+\infty\)

\(n^2\to+\infty\) et \(u_n\) est au-dessus : par comparaison, \(u_n\to+\infty\).

Récapitulatif

\(u_n\to\ell\) : tous les termes finissent dans n'importe quel intervalle ouvert autour de \(\ell\).
\(u_n\to+\infty\) : tous les termes finissent au-dessus de n'importe quel nombre \(A\).
\(q^n\) : \(+\infty\) si \(q>1\), \(0\) si \(-1<q<1\), pas de limite si \(q\leq -1\).
Formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ; on factorise par le terme dominant.
Comparaison pour les limites infinies, gendarmes pour une limite finie.

Suite convergente

Tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Limite de \(q^n\)

\(+\infty\) si \(q>1\) ; \(1\) si \(q=1\) ; \(0\) si \(-1<q<1\) ; aucune si \(q\leq-1\).

Formes indéterminées

\(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\).

Comparaison

Si \(u_n\leq v_n\) et \(u_n\to+\infty\), alors \(v_n\to+\infty\).

Théorème des gendarmes

Si \(v_n\leq u_n\leq w_n\) et \(v_n\), \(w_n\) tendent vers \(\ell\), alors \(u_n\to\ell\).