Objectifs

• Définir \(\ln\) comme la fonction réciproque de \(\exp\) et connaître ses valeurs remarquables.
• Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier des expressions et résoudre des équations et inéquations.
• Connaître la dérivée de \(\ln x\) et de \(\ln u(x)\), et étudier les variations d'une fonction contenant \(\ln\).

1. Définition : le chemin retour de l'exponentielle

Notions clés

La fonction \(\exp\) est continue, strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et prend toutes les valeurs de \(]0 ; +\infty[\). Donc, pour tout réel \(x > 0\), l'équation \(e^y = x\) a une unique solution \(y\). On la note \(\ln x\).

La fonction \(\ln : x \mapsto \ln x\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\) seulement : le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels \(a > 0\), \(b > 0\) et tout entier relatif \(n\) :

La première vient de \(e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = ab\) ; les autres s'en déduisent.

Observe la propriété du produit

Le curseur \(k\) multiplie \(x\) par \(k\). Remarque que la courbe de \(\ln(kx)\) est celle de \(\ln x\) décalée verticalement de \(\ln k\) : c'est \(\ln(kx) = \ln k + \ln x\).

Exemple résolu 1

Simplifier \(A = \ln 12 - \ln 3 + \ln\frac{1}{4}\), \(B = \ln\left(e^{3}\right) + \ln\sqrt{e}\) et exprimer \(C = \ln 8 + \ln 18 - 2\ln 6\) en fonction de \(\ln 2\). Cherche d'abord.

3. Équations et inéquations

Comme \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), pour \(a > 0\) et \(b > 0\) :

Pour tout réel \(k\) : \(\ln x = k \iff x = e^{k}\). En particulier \(\ln x > 0 \iff x > 1\) et \(\ln x < 0 \iff 0 < x < 1\).

flowchart LR
  A[Ecrire les conditions d existence] --> B[Ramener a ln a egal ln b]
  B --> C[Resoudre a egal b]
  C --> D[Garder les solutions qui respectent les conditions]

Exemple résolu 2

Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln(x + 3)\), puis \(\ln(x - 1) \leq 0\). Cherche d'abord.

À toi de jouer

Fatou place 100 000 F CFA à 5 % d'intérêts composés par an. Son capital après \(n\) années vaut \(100\,000 \times 1{,}05^{n}\). À partir de combien d'années aura-t-il doublé ?

4. Dérivée et variations

La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) et

Si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors \(\ln u\) est dérivable sur \(I\) et

Comme \(\frac{1}{x} > 0\) pour \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), avec \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\).

Observe la pente de la tangente

Déplace le point d'abscisse \(a\) : la tangente à la courbe de \(\ln\) en ce point a pour coefficient directeur \(\frac{1}{a}\). Plus \(a\) est grand, plus elle est « couchée ».

Exemple résolu 3

Calculer les dérivées de \(f(x) = x\ln x - x\) sur \(]0 ; +\infty[\), de \(g(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)\) sur \(\mathbb{R}\), puis étudier les variations de \(h(x) = \frac{\ln x}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\). Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Écrire \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\) : c'est faux.
• Calculer \(\ln\) d'un nombre négatif ou nul, ou oublier les conditions d'existence avant de résoudre.
• Oublier \(u'\) dans la dérivée de \(\ln u\).
• Diviser par un logarithme négatif (par exemple \(\ln 0{,}5\)) sans changer le sens de l'inégalité.

Récapitulatif

• \(\ln\) est définie sur \(]0 ; +\infty[\) : \(y = \ln x \iff e^{y} = x\) ; \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\).
• \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\), \(\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a\).
• \(\ln a = \ln b \iff a = b\) et \(\ln a < \ln b \iff a < b\) (avec \(a, b > 0\)).
• \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) et \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) si \(u > 0\) ; \(\ln\) est strictement croissante.

Cartes mémo