Introduction

En mathématiques, le raisonnement permet de déduire de nouvelles vérités à partir de vérités déjà établies. Voici les principaux types de raisonnement abordés au niveau 1ère : la disjonction de cas, la démonstration par l’absurde, et la contraposée.

1. La disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à diviser une problématique en plusieurs scénarios (cas) distincts. Si l’on peut prouver que dans chaque cas une propriété est vérifiée, alors cette propriété est vraie dans tous les cas.

• Exemple :
  Pour montrer qu’un nombre est pair, il suffit de considérer deux cas :
  • Le nombre est divisible par 2 (cas 1).
  • Le nombre n’est pas divisible par 2 (cas 2).
  Dans chaque cas, on vérifie ou on démontre si le nombre est pair ou impair.

2. La preuve par l’absurde

Elle consiste à supposer le contraire de ce que l’on veut établir. Si cette supposition entraîne une contradiction, alors la proposition de départ est vraie.

• Exemple :
  Supposons que étant donné un certain nombre, ce n’est pas un nombre rationnel. Si cette supposition mène à une contradiction, alors le nombre est rationnel.

3. La contraposée

Il s’agit d’une forme de raisonnement logique dans une implication :
Si A implique B (A ⇒ B), alors la contraposée est :
Non B implique Non A (¬B ⇒ ¬A).
Ces deux propositions sont logiquement équivalentes.

• Exemple :
  « Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 2 »
  La contraposée : « Si un nombre n’est pas divisible par 2, alors il n’est pas divisible par 4. »