Logique mathématique et raisonnement

1. Raisonnement par contraposée

Le raisonnement par contraposée est une méthode de démonstration. Pour prouver une implication du type :
Si P alors Q (notée \( P \Rightarrow Q \)),

• On démontre sa contraposée : Si non Q alors non P (\( eg Q \Rightarrow eg P \)).

Exemple : Si \( n \) est pair, alors \( n^2 \) est pair. Son contraposée : Si \( n^2 \) n’est pas pair (impair), alors \( n \) n’est pas pair (impaire).

2. Disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à diviser une proposition en plusieurs cas et à prouver chaque cas séparément.

Formellement, si on doit démontrer \( P \Rightarrow Q \), on peut utiliser la disjonction :

Preuve par cas : si \( A_1 \) implique \( Q \), et \( A_2 \) implique \( Q \), alors \( (A_1 \cup A_2) \Rightarrow Q \).

Exemple : pour prouver qu’un nombre entier \( n \) est pair ou impair :

• Cas 1 : \( n \) est pair.
• Cas 2 : \( n \) est impair.

Dans tous ces cas, la propriété est vérifiée.

3. Raisonnement par récurrence

Il s’agit de prouver qu’une propriété \( P(n) \) est vraie pour tous les entiers naturels \( n \geq n_0 \) en trois étapes :

1. Initialisation : Vérifier que \( P(n_0) \) est vraie.
2. Hérédité : Supposer \( P(k) \) vraie pour un entier \( k \geq n_0 \), puis prouver \( P(k+1) \).
3. Conclusion : Par principe de récurrence, \( P(n) \) est vraie pour tout \( n \geq n_0 \).

Exemple : Prouvons que pour tout \( n \geq 1 \), \( 1 + 2 + \dots + n = rac{n(n+1)}{2} \).

• Initialisation : pour \( n=1 \), \( 1 = rac{1 imes 2}{2} = 1 \), vrai.
• Hérédité : Supposons vrai pour \( n=k \) : \( 1 + 2 + \dots + k = rac{k(k+1)}{2} \). Vérifions pour \( n=k+1 \) :

\[ egin{aligned} 1 + 2 + \dots + k + (k+1) &= rac{k(k+1)}{2} + (k+1) \ &= rac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \ &= rac{(k+1)(k+2)}{2} \end{aligned} \]

Ce qui correspond à la formule pour \( n=k+1 \). La propriété est donc prouvée par récurrence.