Logique mathématique et raisonnement : Implication, équivalence, contre-exemples

1. Implication

L'implication est une relation entre deux propositions : si la proposition P est vraie, alors la proposition Q doit être vraie. Elle s'écrit :
P ⇒ Q.

Pour qu'une implication soit fausse, il faut que P soit vraie et Q soit fausse. Dans tous les autres cas, elle est vraie.

Table de vérité :

P	Q	P ⇒ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

2. Lien avec la contraposée

La contraposée d'une implication P ⇒ Q est ¬Q ⇒ ¬P. Elle est logiquement équivalente à l'implication initiale.

Exemple :
Si « il pleut » alors « le sol est mouillé » est équivalent à « si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas ».

3. Équivalence

Deux propositions P et Q sont équivalentes si elles ont la même valeur de vérité dans toutes les situations. On note :
P ⇔ Q.

La biconditionnelle est fausse si P et Q ont des valeurs de vérité différentes. La vérité de l'équivalence peut être vérifiée à l'aide d'une table de vérité :

P	Q	P ⇔ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

4. Contre-exemples pour tester la validité

Un contre-exemple est une situation qui montre qu'une proposition n'est pas toujours vraie, donc qu'une implication ou une affirmation est fausse.

Exemple :
Pour montrer que « tous les nombres pairs sont premiers » est faux, il suffit de donner un contre-exemple :
le nombre 4 est pair mais n'est pas premier.