Logique mathématique et raisonnement

1. Les propositions logiques

Une proposition est une déclaration qui a une valeur de vérité : true ou false.

Exemples :

• « Il pleut » : proposition ;
• « 2 + 2 = 4 » : proposition ;
• « Paris est la capitale de la France » : proposition.

2. Les connecteurs logiques

2.1. La conjonction (et)

Si \(P\) et \(Q\) sont deux propositions, la conjonction se note \(P \wedge Q\) et est vraie seulement si les deux propositions sont vraies.

Tablue de vérité :

\(P\)	\(Q\)	\(P \wedge Q\)
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

2.2. La disjonction (ou)

Pour \(P ee Q\), la disjonction est vraie si au moins une des deux propositions est vraie.

Tablue de vérité :

\(P\)	\(Q\)	\(P ee Q\)
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

2.3. La négation (non)

La négation de \(P\), notée \( eg P\), est vraie si \(P\) est fausse, et fausse si \(P\) est vraie.

Exemple : si \(P\) est « Il pleut », alors \( eg P\) est « Il ne pleut pas ».

3. Quantificateurs

3.1. Le quantificateur universel (\(orall\))

Exprime que « pour tout » ou « pour tous » :

\[ orall x, P(x) \]

Se lit : « pour tout \(x\), la propriété \(P(x)\) est vraie ».

3.2. Le quantificateur existentiel (\(\exists\))

Exprime qu’« il existe au moins un » :

\[ \exists x, P(x) \]

Se lit : « il existe au moins un \(x\) tel que \(P(x)\) est vraie ».

Résumé

• Les propositions se combinent avec des connecteurs : et (\(\wedge\)), ou (\(ee\)), non (\( eg\)).
• Les quantificateurs permettent d'étendre la logique à l'ensemble des éléments d'une variable.