Logique mathématique et raisonnement

1. Raisonnement par contraposée

Le raisonnement par contraposée permet de démontrer une implication P → Q en prouvant sa contraposée ¬Q → ¬P.

Exemple :

Pour démontrer :
> Si n est pair, alors n² l’est aussi.

La contraposée est :
> Si n² n’est pas pair, alors n n’est pas pair.

Si n² est impair, alors n doit être impair, ce qui prouve l’implication.

2. Disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à diviser une affirmation en plusieurs cas possibles et à démontrer l’affirmation dans chacun d’eux.

Exemple :

Pour montrer que ∀ n ∈ N, n² ≥ 0.

• Cas 1 : n ≥ 0, alors n² ≥ 0 (toujours vrai).
• Cas 2 : n < 0, alors (-n) ≥ 0, donc n² = (-n)² ≥ 0.

Les deux cas étant vérifiés, la propriété est démontrée pour tout n en N.

3. Récurrence

La preuve par récurrence permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

Étapes :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour n = 0 ou n = 1.
2. Hérarchisation : Supposer qu’elle l’est pour un entier n quelconque.
3. Déduction : Montrer qu’elle est alors aussi valable pour n + 1.

Exemple :

Montrer que pour tout n ≥ 0, ∑_{k=0}^{n} k = n(n+1)/2.

• Initialisation : Pour n=0, ∑ = 0 = 0(0+1)/2 = 0, vrai.
• Hérarchisation : Supposons que ∑_{k=0}^{n} k = n(n+1)/2
• Déduction : ∑_{k=0}^{n+1} k = ∑_{k=0}^{n} k + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2.

Ce qui conclut la preuve.