Lois Binomiales : Somme d’épreuves de Bernoulli

Introduction

La loi binomiale apparaît lorsque l’on répète plusieurs essais de Bernoulli, dont chaque résultat est un succès ou un échec. La somme de ces essais modélise le nombre de succès.

Les variables de Bernoulli

Une variable aléatoire X de Bernoulli se définit comme suit :

• Elle prend la valeur 1 avec une probabilité p (succès).
• Elle prend la valeur 0 avec une probabilité 1-p (échec).

Une somme d’épreuves de Bernoulli : la loi binomiale

Considérons n essais indépendants de Bernoulli identiques. La variable S représentant le nombre de succès suite à ces n essais est la somme :

S = X_1 + X_2 + ... + X_n

où chaque X_i est une variable de Bernoulli avec Succès p.

Distribution de la variable S

La variable S suit une loi binomiale de paramètres n et p. La fonction de probabilité est :

P(S = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

pour k allant de 0 à n, où C(n, k) est le coefficient binomial :

C(n, k) = ÷ n! / (k! * (n - k)!)

Propriétés de la loi binomiale

• Evénements mutuellement exclusifs : il ne peut y avoir plus d’un nombre de succès à la fois.
• La moyenne : μ = n * p
• La variance : σ² = n * p * (1 - p)

Conclusion

La loi binomiale permet de modéliser le nombre de succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes. Elle est fondamentale en statistique pour analyser des expériences binaires répétées.