La décroissance radioactive suit une loi exponentielle : le nombre de noyaux diminue comme \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\), et la demi-vie est liée à \(\lambda\) par \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).

Loi de décroissance radioactive

Niveau Terminale — thème : Transformations nucléaires

Objectifs

Comprendre la notion de constante de désintégration \(\lambda\) et d'activité \(A\).
Savoir déduire la loi exponentielle et la relation avec la demi-vie \(T_{1/2}\).
Appliquer la loi pour résoudre des problèmes numériques simples.

Quel est l'objectif principal de cette leçon ?

Apprendre l'histoire de la radioactivité
Comprendre et utiliser la loi de décroissance radioactive
Connaître uniquement les unités utilisées en radiochimie

La leçon vise à comprendre la loi et ses applications (réponse 2).

Notions clés

1. Définition — constante de désintégration et loi

On suppose que chaque noyau a une probabilité constante par unité de temps de se désintégrer. On pose \(N(t)\) le nombre de noyaux à l'instant \(t\). La loi différentielle s'écrit :

\begin{align} \frac{dN}{dt} &= -\lambda\,N(t) \end{align}

En séparant les variables et en intégrant on obtient la solution :

\[ N(t)=N_0\,e^{-\lambda t} \]

où \(N_0\) est le nombre initial de noyaux et \(\lambda>0\) la constante de désintégration (en s^{-1} ou en an^{-1}, selon l'unité de \(t\)).

Laquelle de ces équations décrit correctement la décroissance du nombre de noyaux ?

\(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\)
\(N(t)=N_0 + \lambda t\)
\(N(t)=N_0 e^{\lambda t}\)

La décroissance est exponentielle décroissante, donc la forme avec \(e^{-\lambda t}\) est correcte.

2. Activité

On définit l'activité \(A(t)\) comme le nombre de désintégrations par seconde :

\[ A(t)=\lambda\,N(t) \]

Donc \(A(t)=A_0 e^{-\lambda t}\) avec \(A_0=\lambda N_0\).

Si \(N(t)\) décroît comme \(e^{-\lambda t}\), que fait l'activité ?

Elle reste constante
Elle décroît linéairement
Elle décroît aussi exponentiellement

L'activité est proportionnelle à \(N\), donc elle suit la même loi exponentielle.

3. Demi-vie

La demi-vie \(T_{1/2}\) est le temps pour que la moitié des noyaux initiaux ait disparu. On pose \(N(T_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}\). En utilisant la loi :

\[ \frac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{1}{2} \] \[ T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda} \]

Si \(\lambda\) augmente, que fait \(T_{1/2}\) ?

Il diminue
Il augmente
Il reste constant

Comme \(T_{1/2}=\ln 2/\lambda\), une plus grande \(\lambda\) donne une demi-vie plus courte.

Schéma : types d'émission (simplifié)

Schéma montrant la transformation d'un noyau initial lors d'une désintégration alpha, bêta ou gamma.

Le schéma montre la diversité des émissions : alpha (noyau He), bêta (électron ou positron), gamma (rayonnement électromagnétique) — la loi de décroissance concerne la probabilité globale de désintégration.

Graphique interactif : décroissance exponentielle

Modifiez N0 et lambda pour voir l'effet sur \(N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}\).

Exemples résolus

Exemple 1 — fraction restante après quelques demi-vies

Question : Quelle fraction de noyaux reste après 3 demi-vies ? Cherchez avant de voir la solution.

Voir la solution

Après une demi-vie, la fraction restante est \(\tfrac{1}{2}\).

Après deux demi-vies : \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}\).

Après trois demi-vies : \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}\).

Fraction restante après 3 demi-vies :

Chaque demi-vie multiplie la fraction par 1/2, donc \((1/2)^3=1/8\).

Exemple 2 — calcul de \(\lambda\) à partir de \(T_{1/2}\)

Question : Trouver \(\lambda\) si \(T_{1/2}=5\) ans. Cherchez d'abord.

Voir la solution

\begin{align} T_{1/2} &= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ \lambda &= \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5\ \text{ans}} \approx 0{,}1386\ \text{an}^{-1} \end{align}

Valeur approchée de \(\lambda\) ?

0.693 an^{-1}
0.139 an^{-1}
5 an^{-1}

On divise \(\ln 2\approx0{,}693\) par 5 soit \(\approx0{,}139\).

Exemple 3 — activité après un temps donné

Question : Un échantillon a \(N_0=2.0\times10^{12}\) noyaux et \(\lambda=0{,}2\ \text{h}^{-1}\). Calculer \(A(3\ \text{h})\).

Voir la solution

\begin{align} N(3) &= N_0 e^{-\lambda\,t} = 2{.}0\times10^{12} e^{-0{,}2\times3} = 2{.}0\times10^{12} e^{-0{,}6} \\ &\approx 2{.}0\times10^{12}\times0{,}5488 \approx 1{.}10\times10^{12} \end{align} \[ A(3)=\lambda N(3)\approx 0{,}2\times 1{.}10\times10^{12}\approx 2{.}2\times10^{11}\ \text{des/s} = 2{.}2\times10^{11}\ \text{Bq} \]

L'activité après 3 h est de l'ordre de :

10^{11} Bq
10^{5} Bq
10^{20} Bq

Le calcul donne environ \(2{.}2\times10^{11}\) Bq (ordre de 10^{11}).

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité de \(\lambda\) : vérifiez toujours l'unité du temps utilisée (s, min, h, an).
Penser qu'après une demi-vie il n'y a plus de radioactivité : il en reste la moitié, et l'activité continue de décroître mais jamais instantanément à zéro.
Utiliser des logarithmes décimaux sans conversion : pour résoudre \(N=N_0 e^{-\lambda t}\), prenez ln (naturel), pas log_{10}, sauf si vous corrigez la base.

Quel est le bon logarithme à utiliser pour isoler \(t\) dans \(N=N_0 e^{-\lambda t}\) ?

log_{10}
ln (logarithme naturel)
log base 2

On utilise le logarithme naturel pour annuler l'exponentielle de base e.

Récapitulatif

Décroissance : \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\).
Activité : \(A(t)=\lambda N(t)\).
Demi-vie : \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Principales applications : datation, radioprotection, production de radioisotopes.

Cartes mémo

Loi de décroissance

\(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\)

Activité

\(A=\lambda N\), unité : becquerel (Bq)

Demi-vie

\(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\)

Différentielle

\(\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N\)