Loi de décroissance radioactive

Physique-Chimie — Transformations nucléaires : loi de décroissance radioactive (Tle)

Objectifs : comprendre et utiliser la loi exponentielle de décroissance, relier activité et nombre de noyaux, et passer entre constante de désintégration et demi-vie.

1. Contexte et définitions

Un échantillon contient N(t) noyaux radioactifs susceptibles de se désintégrer. La désintégration d'un noyau est un processus aléatoire; pour un grand nombre de noyaux on modélise la décroissance par une loi déterministe.

N(t) : nombre de noyaux instables à l'instant t.
λ : constante de désintégration (sphère d'unité s^-1), probabilité par unité de temps qu'un noyau se désintègre.
Activité A(t) : nombre de désintégrations par seconde, en becquerels (Bq). A(t)= -dN/dt.
Temps de demi-vie T_1/2 : temps nécessaire pour que N diminue de moitié.

2. Loi de décroissance radioactive (formule)

Hypothèse clé : le taux de décroissance est proportionnel au nombre de noyaux présents :

dN/dt = -λ N(t)

Résolution (équation différentielle linéaire) donne la loi exponentielle :

N(t) = N₀ · e^{-λ t}, où N₀ = N(0).

L'activité s'en déduit :

A(t) = λ N(t) = A₀ · e^{-λ t}, avec A₀ = λ N₀.

3. Demi-vie et relation avec λ

Définition : N(T_1/2) = N₀/2. En appliquant la loi :

N₀/2 = N₀ e^{-λ T_1/2} ⟹ e^{-λ T_1/2} = 1/2.

Donc :

T_1/2 = ln 2 / λ ≈ 0.693 / λ

Inversement : λ = ln 2 / T_1/2.

4. Démonstration succincte

Équation différentielle dN/dt = -λ N. Séparation des variables :

∫ dN/N = -λ ∫ dt  ⇒  ln N = -λ t + C ⇒ N(t) = C' e^{-λ t}.

Avec condition initiale N(0)=N₀, on obtient C' = N₀.

5. Exemple numérique

Soit N₀ = 1,00·10⁶ noyaux, λ = 0,10 s^-1.

Calcul de T_1/2 : T_1/2 = ln 2 / 0,10 ≈ 6,93 s.
Nombre après t = 20 s : N(20) = 1,00·10⁶ · e^-0,10·20 = 1,00·10⁶ · e^-2 ≈ 1,00·10⁶ · 0,1353 ≈ 1,35·10⁵ noyaux.
Activité initiale : A₀ = λ N₀ = 0,10·1,00·10⁶ = 1,00·10⁵ Bq.
Activité à 20 s : A(20) = λ N(20) ≈ 0,10·1,35·10⁵ ≈ 1,35·10⁴ Bq.

6. Remarques pratiques

La loi vaut pour un échantillon isolé sans apport de noyaux. Pour des décrochages en chaîne (suites de désintégrations), on traite chaque noyau fils avec ses propres paramètres ou on utilise les équations de Bateman.
L'activité A est directement mesurable (compteurs), ce qui permet d'estimer N si λ est connu.
La décroissance est exponentielle : les mêmes propriétés de proportionnalité s'appliquent à A(t).

7. Exercices

Exercice 1 : Un isotope a une demi-vie de 12 ans. On a 8,0·10¹⁸ noyaux au départ. Calculer λ, N(t) et A(t) après 30 ans.

Exercice 2 : Une source a une activité initiale A₀ = 5,0·10⁶ Bq et λ = 0,02 an^-1. Quelle est l'activité après 10 ans ? Quel pourcentage de l'activité initiale reste-t-il ?

Exercice 3 (niveau renforcé) : On mesure une activité A(t) qui décroît et on observe A(0)=2000 Bq et A(15 min)=500 Bq. Déterminer λ et la demi-vie.

8. Solutions (rapides)

Ex. 1 :

λ = ln 2 / T_1/2 = ln 2 / 12 ≈ 0,0578 an^-1.

N(30) = 8,0·10¹⁸ · e^-0,0578·30 ≈ 8,0·10¹⁸ · e^-1,734 ≈ 8,0·10¹⁸ · 0,176 ≈ 1,41·10¹⁸ noyaux.

A(30) = λ N(30) ≈ 0,0578 · 1,41·10¹⁸ ≈ 8,16·10¹⁶ Bq.

Ex. 2 :

A(10) = A₀ e^-λ·10 = 5,0·10⁶ · e^-0,02·10 = 5,0·10⁶ · e^-0,2 ≈ 5,0·10⁶ · 0,819 = 4,10·10⁶ Bq.

Pourcentage restant ≈ 81,9 %.

Ex. 3 :

A(t) = A₀ e^{-λ t} ⇒ A(15)/A(0) = e^-λ·15 = 500/2000 = 0,25.

Donc e^-λ·15 = 0,25 ⇒ -λ·15 = ln 0,25 = -ln 4 ⇒ λ = (ln 4)/15 ≈ 1,386/15 ≈ 0,0924 min^-1.

T_1/2 = ln 2 / λ ≈ 0,693 / 0,0924 ≈ 7,50 min.

9. Résumé

Décroissance radioactive : N(t) = N₀ e^{-λ t}.
Activité : A(t) = λ N(t) = A₀ e^{-λ t}.
Relation demi-vie / constante : T_1/2 = ln 2 / λ.
Mesurer A permet d'estimer N si λ est connu; pour des chaînes, utiliser les équations adaptées.

10. Pour aller plus loin

Notions avancées : lois de Bateman pour décroissances en chaîne, modélisation statistique de la désintégration, applications en datation radiométrique et en dosimétrie.