Loi de Newton du refroidissement

Un corps chaud perd de la chaleur d'autant plus vite qu'il est plus chaud que l'air autour : son écart de température avec l'air diminue de façon exponentielle.

Objectifs

Écrire le flux thermique échangé par convection entre un corps et l'air : \(\Phi = hS\,(T - T_a)\).
Établir l'équation différentielle \(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a)\) à partir d'un bilan d'énergie.
Résoudre cette équation : \(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}\).
Exploiter la constante de temps \(\tau = \dfrac{1}{k}\) et déterminer \(k\) à partir de mesures (méthode du logarithme).

1. Le flux thermique de convection

Quand un corps (le thé) est plus chaud que le fluide qui l'entoure (l'air de la pièce), de l'énergie thermique passe du corps vers l'air. L'air chaud monte et est remplacé par de l'air plus frais : c'est la convection.

Newton a observé que, tant que l'écart de température n'est pas trop grand, la puissance thermique perdue (le flux thermique \(\Phi\), en watts) est proportionnelle à cet écart :

\[\Phi = h\,S\,(T - T_a)\]

\(T\) : température du corps (en K ou en °C) ;
\(T_a\) : température de l'air ambiant, supposée constante ;
\(S\) : surface d'échange entre le corps et l'air (en \(\mathrm{m^2}\)) ;
\(h\) : coefficient d'échange convectif (en \(\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\)) ; il est plus grand quand l'air bouge (ventilateur, vent).

Le thé (température \(T\)) cède un flux thermique \(\Phi\) à l'air (température \(T_a\)) par toute sa surface d'échange \(S\).

Un verre de thé à 80 °C et un autre à 50 °C sont posés dans la même pièce à 30 °C (même verre, même quantité). Lequel perd le plus de chaleur par seconde au même instant ?

Les deux perdent autant
Celui à 50 °C
Celui à 80 °C

Le flux est proportionnel à l'écart : 50 °C d'écart pour le premier contre 20 °C pour le second. Le verre à 80 °C perd 2,5 fois plus de chaleur par seconde.

2. L'équation différentielle du refroidissement

Le corps a une masse \(m\) et une capacité thermique massique \(c\) (en \(\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}\)). Pendant une petite durée \(dt\), sa température varie de \(dT\) et son énergie interne de \(dU = m\,c\,dT\). Le premier principe (sans travail échangé) donne :

\[m\,c\,\frac{dT}{dt} = -\Phi = -h\,S\,(T - T_a)\]

Le signe « moins » traduit que le corps perd de l'énergie quand \(T > T_a\). En divisant par \(mc\) :

\[\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a) \qquad \text{avec} \qquad k = \frac{hS}{mc}\]

\(k\) s'exprime en \(\mathrm{s^{-1}}\) (ou en \(\mathrm{min^{-1}}\)). Plus \(k\) est grand, plus le refroidissement est rapide.

On sert la même bouillie dans un bol large et peu profond au lieu d'une tasse étroite. Que devient \(k\) ?

Il diminue, car la masse est la même
Il augmente, car la surface d'échange est plus grande
Il ne change pas, il ne dépend que de l'air

\(k = hS/(mc)\) : à masse égale, une surface \(S\) plus grande donne un \(k\) plus grand, donc un refroidissement plus rapide.

3. Solution : une décroissance exponentielle

Posons l'écart \(\theta = T - T_a\). Comme \(T_a\) est constante, \(\dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{dT}{dt}\), et l'équation devient \(\dfrac{d\theta}{dt} = -k\,\theta\). Ses solutions sont \(\theta(t) = \theta_0\,e^{-kt}\). Avec \(T(0) = T_0\) :

\[T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}\]

Étape 1 : on vérifie l'équation. \(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T_0 - T_a)\,e^{-kt}\) et \(T - T_a = (T_0 - T_a)\,e^{-kt}\), donc \(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a)\). ✔

Étape 2 : on vérifie la condition initiale. \(T(0) = T_a + (T_0 - T_a)\times 1 = T_0\). ✔

Étape 3 : on regarde le comportement à long terme. Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-kt} \to 0\) donc \(T(t) \to T_a\) : le corps finit à la température de la pièce, sans jamais la dépasser.

Constante de temps

On appelle constante de temps la durée \(\tau = \dfrac{1}{k}\). Au bout de \(\tau\), l'écart a été multiplié par \(e^{-1} \approx 0{,}37\) : il ne reste que 37 % de l'écart de départ. Après \(5\tau\), il en reste moins de 1 % : on considère le refroidissement terminé.

On utilise aussi la durée de « demi-écart » : le temps pour que l'écart soit divisé par 2, \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\).

Manipule la courbe : \(T_a\) est la température de la pièce, \(T_0\) la température de départ, \(k\) la constante (en \(\mathrm{min^{-1}}\)) ; l'axe horizontal est le temps en minutes.

Observe : la courbe se rapproche de la droite horizontale \(T = T_a\) (asymptote) sans la couper. Si tu mets \(T_0\) plus petit que \(T_a\) (boisson fraîche), la courbe monte : la même loi décrit le réchauffement.

Un plat à 80 °C refroidit dans une pièce à 30 °C avec \(\tau = 10\) min. Quelle est sa température environ au bout de 10 min ?

Environ 48 °C
Environ 30 °C
Environ 40 °C

Après \(\tau\), il reste 37 % de l'écart de 50 °C, soit environ 18,4 °C : \(T \approx 30 + 18{,}4 \approx 48\) °C.

4. Exemples résolus

Exemple 1 : quand boire l'ataya ?

Un verre de thé est à \(T_0 = 90\) °C dans une pièce de Ouagadougou à \(T_a = 30\) °C. On donne \(k = 0{,}05\ \mathrm{min^{-1}}\).

a) Quelle est sa température après 10 min ? b) Au bout de combien de temps atteint-il 45 °C ?

Cherche d'abord, puis déroule la correction.

a) \(T(10) = 30 + (90 - 30)\,e^{-0{,}05 \times 10} = 30 + 60\,e^{-0{,}5}\).

\(e^{-0{,}5} \approx 0{,}607\), donc \(T(10) \approx 30 + 36{,}4 = 66{,}4\) °C.

b) On cherche \(t\) tel que \(45 = 30 + 60\,e^{-0{,}05t}\), soit \(e^{-0{,}05t} = \dfrac{15}{60} = 0{,}25\).

On prend le logarithme : \(-0{,}05\,t = \ln 0{,}25 = -\ln 4\), donc \(t = \dfrac{\ln 4}{0{,}05} \approx \dfrac{1{,}386}{0{,}05} \approx 27{,}7\) min.

Exemple 2 : trouver \(k\) à partir d'une mesure

Aïcha mesure la bouillie de mil de son petit frère : 80 °C à \(t = 0\), puis 60 °C à \(t = 5\) min, dans une pièce à 30 °C. Calcule \(k\) et \(\tau\).

Voir la solution

\[60 - 30 = (80 - 30)\,e^{-5k} \;\Rightarrow\; e^{-5k} = \frac{30}{50} = 0{,}6\] \[k = -\frac{\ln 0{,}6}{5} \approx \frac{0{,}511}{5} \approx 0{,}102\ \mathrm{min^{-1}} \qquad \tau = \frac{1}{k} \approx 9{,}8\ \mathrm{min}\]

La bouillie perd 63 % de son écart avec la pièce en un peu moins de 10 minutes.

Exemple 3 : vérifier la loi avec un graphique (méthode du logarithme)

En prenant le logarithme de l'écart : \(\ln(T - T_a) = \ln(T_0 - T_a) - k\,t\). Si la loi de Newton est vérifiée, les points \((t\,;\,\ln(T - T_a))\) sont alignés sur une droite de coefficient directeur \(-k\).

Mesures dans une salle à 25 °C : \(t = 0\) min, \(T = 85\) °C ; \(t = 10\) min, \(T = 55\) °C ; \(t = 20\) min, \(T = 40\) °C. La loi est-elle vérifiée ? Que vaut \(k\) ?

Écarts : 60 °C, 30 °C, 15 °C. L'écart est divisé par 2 toutes les 10 min : c'est bien une décroissance exponentielle.

\(\ln 60 \approx 4{,}09\) ; \(\ln 30 \approx 3{,}40\) ; \(\ln 15 \approx 2{,}71\) : chaque fois, on enlève \(0{,}69\), les points sont alignés.

Pente : \(-\dfrac{0{,}69}{10} \approx -0{,}069\ \mathrm{min^{-1}}\), donc \(k \approx 0{,}069\ \mathrm{min^{-1}}\) (et \(t_{1/2} = 10\) min, car \(\ln 2 / 0{,}069 \approx 10\)).

flowchart LR
A[Mesurer T et Ta] --> B[Calculer T moins Ta]
B --> C[Calculer ln de l ecart]
C --> D[Tracer en fonction de t]
D --> E{Points alignes}
E -->|oui| F[Loi verifiee et k egal a moins la pente]
E -->|non| G[Loi non valable]

Dans une pièce à 30 °C, l'écart d'un corps passe de 40 °C à 20 °C en 8 min. Quelle sera sa température 8 min plus tard ?

30 °C
40 °C
35 °C, mais seulement au bout de 16 min

L'écart est divisé par 2 toutes les 8 min : 40, puis 20, puis 10 °C. La température vaut alors \(30 + 10 = 40\) °C. L'écart ne s'annule pas d'un coup.

5. Limites de la loi

Si l'air autour se réchauffe nettement (petite pièce fermée), \(T_a\) n'est plus constante.
Si l'on souffle ou si l'on met un ventilateur, \(h\) change : il faut un nouveau \(k\).
Un changement d'état (eau qui gèle, vapeur) bloque la température pendant un temps : la loi ne s'applique pas pendant ce palier.

Dans quelle situation la loi de Newton s'applique-t-elle le mieux ?

Une barre de fer rouge sortie de la forge
De l'eau en train de geler dans un congélateur
Une casserole de sauce à 70 °C posée dans une cuisine à 30 °C

Écart modéré, ambiance stable, pas de changement d'état : c'est le cas idéal. La barre rouge perd surtout de l'énergie par rayonnement, et l'eau qui gèle reste à 0 °C pendant le changement d'état.

Erreurs fréquentes

Écrire \(T(t) = T_0\,e^{-kt}\) : on oublie que c'est l'écart \(T - T_a\) qui décroît.
Oublier le signe « moins » dans \(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a)\) : sans lui, la température exploserait.
Mélanger les unités de \(k\) (\(\mathrm{s^{-1}}\) ou \(\mathrm{min^{-1}}\)) et celles du temps.
Croire que le corps atteint exactement \(T_a\) en un temps fini : il s'en approche seulement (en pratique, après environ \(5\tau\)).

Récapitulatif

Flux de convection : \(\Phi = hS\,(T - T_a)\).
Bilan d'énergie : \(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a)\), avec \(k = \dfrac{hS}{mc}\).
Solution : \(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}\) ; constante de temps \(\tau = 1/k\) ; demi-écart \(t_{1/2} = \ln 2 / k\).
Vérification expérimentale : \(\ln(T - T_a)\) est une fonction affine du temps, de pente \(-k\).

Loi de Newton (flux)

\(\Phi = hS\,(T - T_a)\) : la chaleur perdue par seconde est proportionnelle à l'écart de température.

Équation différentielle

\(\dfrac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a)\), avec \(k = \dfrac{hS}{mc}\).

Solution

\(T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}\) : l'écart décroît exponentiellement.

Constante de temps \(\tau\)

\(\tau = 1/k\) : après \(\tau\), il reste 37 % de l'écart ; après \(5\tau\), moins de 1 %.

Méthode du logarithme

Tracer \(\ln(T - T_a)\) en fonction de \(t\) : une droite de pente \(-k\) confirme la loi.