Loi des nœuds et des mailles

À un nœud, tout le courant qui arrive repart (loi des nœuds) ; le long d'une boucle fermée, les tensions s'équilibrent et leur somme algébrique est nulle (loi des mailles).

Objectifs

Reconnaître un nœud, une branche et une maille dans un circuit.
Mesurer une intensité (ampèremètre en série) et une tension (voltmètre en dérivation).
Appliquer la loi des nœuds pour calculer une intensité inconnue.
Appliquer la loi des mailles pour calculer une tension inconnue.
En déduire les règles des circuits en série et en dérivation.

1. Le vocabulaire du circuit

Notions clés

Un nœud est un point du circuit relié à au moins trois fils.
Une branche est une portion de circuit entre deux nœuds consécutifs : tous ses dipôles sont en série et traversés par le même courant.
Une maille est un chemin fermé du circuit qui ne passe qu'une seule fois par chaque point.
L'intensité \(I\) du courant se mesure en ampères (A) avec un ampèremètre branché en série.
La tension \(U_{AB}\) entre deux points A et B se mesure en volts (V) avec un voltmètre branché en dérivation (borne V en A, borne COM en B). On a \(U_{BA} = -U_{AB}\).

Voici le circuit d'Ibrahim. Place les noms au bon endroit :

Combien de nœuds compte le circuit d'Ibrahim ci-dessus ?

Aucun
Deux
Quatre

Seuls les deux points marqués (en haut et en bas de la lampe du milieu) sont reliés à trois fils. Les coins du circuit ne relient que deux fils : ce ne sont pas des nœuds.

2. La loi des nœuds

Suis le trajet du courant dans le circuit d'Ibrahim :

Le courant I = 0,30 A sort de la borne + du générateur et traverse la lampe L1 jusqu'au nœud A.

Au nœud A, il se partage : I2 = 0,20 A traverse L2 et I3 = 0,10 A traverse L3.

Au nœud B, les deux courants se regroupent : I = I2 + I3, soit 0,30 A = 0,20 A + 0,10 A.

Exemple résolu 1 : trouver une intensité

Dans un autre montage, à un nœud N, arrivent \(I_1 = 0{,}85\) A et \(I_2 = 0{,}40\) A ; repartent \(I_3 = 0{,}60\) A et \(I_4\). Calcule \(I_4\).

Étape 1 : on écrit la loi des nœuds : \(I_1 + I_2 = I_3 + I_4\).

Étape 2 : on isole l'inconnue : \(I_4 = I_1 + I_2 - I_3\).

Étape 3 : \(I_4 = 0{,}85 + 0{,}40 - 0{,}60 = 0{,}65\ \mathrm{A}\).

Un courant de 0,50 A arrive à un nœud. Il repart par deux fils ; l'un transporte 0,20 A. Que transporte l'autre ?

\(0{,}30\) A
\(0{,}70\) A
\(0{,}50\) A

Loi des nœuds : \(0{,}50 = 0{,}20 + I\), donc \(I = 0{,}30\) A. Le courant se partage, il ne s'ajoute pas.

3. La loi des mailles

Conséquence pratique : dans une maille contenant un générateur et des récepteurs, la tension du générateur est égale à la somme des tensions des récepteurs parcourus. Pour la maille générateur, L1, L2 du circuit d'Ibrahim :

\[ U_{\text{gén}} = U_{L1} + U_{L2} \]

Exemple résolu 2 : les tensions du kit solaire

La batterie d'Ibrahim délivre \(U_{\text{gén}} = 12{,}0\) V. Le voltmètre indique \(U_{L1} = 4{,}5\) V aux bornes de L1. Quelle est la tension aux bornes de L2 ? et de L3 ?

Voir la solution

Maille générateur, L1, L2 : \(U_{\text{gén}} = U_{L1} + U_{L2}\), donc \(U_{L2} = 12{,}0 - 4{,}5 = 7{,}5\) V.

Maille L2, L3 (la boucle formée par les deux branches dérivées) : \(U_{L2} - U_{L3} = 0\), donc \(U_{L3} = U_{L2} = 7{,}5\) V.

Deux dipôles branchés en dérivation entre les mêmes nœuds ont donc la même tension.

Un générateur de 9,0 V alimente deux lampes en série. La tension aux bornes de la première vaut 5,5 V. Que vaut la tension aux bornes de la seconde ?

\(9{,}0\) V
\(14{,}5\) V
\(3{,}5\) V

Loi des mailles : \(9{,}0 = 5{,}5 + U_2\), donc \(U_2 = 3{,}5\) V. En série, la tension du générateur se partage entre les récepteurs.

4. Bilan : circuits en série et en dérivation

	Circuit en série	Circuit en dérivation
Intensité	la même partout : \(I = I_1 = I_2\)	elle se partage : \(I = I_1 + I_2\)
Tension	elle se partage : \(U = U_1 + U_2\)	la même pour chaque branche : \(U = U_1 = U_2\)
Loi utilisée	loi des mailles pour les tensions	loi des nœuds pour les intensités

Deux lampes sont branchées en dérivation sur une pile de 4,5 V. Quelle est la tension aux bornes de chaque lampe ?

\(2{,}25\) V chacune
\(4{,}5\) V chacune
\(9{,}0\) V chacune

En dérivation, chaque branche forme une maille avec la pile : chaque lampe reçoit la tension de la pile, 4,5 V.

Erreurs fréquentes

Croire que le courant « s'use » dans une lampe : l'intensité est la même avant et après un dipôle en série.
Prendre un coin du circuit (deux fils) pour un nœud.
Additionner les tensions de dipôles en dérivation : elles sont égales, pas additionnées.
Oublier les signes dans la loi des mailles quand les tensions ne sont pas toutes fléchées dans le même sens.
Brancher l'ampèremètre en dérivation : il risque d'être détruit.

Récapitulatif

Nœud : point relié à au moins trois fils ; branche : entre deux nœuds ; maille : chemin fermé.
Loi des nœuds : \(\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}\).
Loi des mailles : la somme algébrique des tensions d'une maille est nulle.
Série : même intensité, les tensions s'additionnent. Dérivation : même tension, les intensités s'additionnent.

Nœud

Point du circuit relié à au moins trois fils.

Maille

Chemin fermé du circuit qui ne passe qu'une fois par chaque point.

Loi des nœuds

Somme des intensités qui arrivent = somme des intensités qui repartent.

Loi des mailles

Somme algébrique des tensions d'une maille = 0 ; par exemple \(U_{\text{gén}} = U_1 + U_2\) en série.

Appareils de mesure

Ampèremètre en série (intensité, A) ; voltmètre en dérivation (tension, V).