Objectifs

• Interpréter une densité normale.
• Standardiser et lire une table cumulée.
• Vérifier les conditions et appliquer la correction de continuité.

Reconnaître un modèle normal

On note ici \(X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)\) une loi normale de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\), avec \(\sigma>0\). Sa densité est \[f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).\] La probabilité d’un intervalle est l’aire sous la courbe ; la densité en un point n’est pas la probabilité de ce point. Pour une loi continue, \(P(X=a)=0\).

Déplace le curseur de dispersion : la courbe reste centrée en zéro, s’étale et s’abaisse lorsque l’écart-type augmente. Le graphique utilise une approximation numérique de \(2\pi\), ne montre qu’une portion de la courbe et représente une densité.

Standardiser et lire une table

Si \(X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)\), alors \(Z=(X-\mu)/\sigma\sim\mathcal N(0,1)\). On utilise une table cumulée \(\Phi(z)=P(Z\le z)\). Les autres probabilités s’en déduisent par différence et complément. Attention : certaines tables donnent une autre aire ; lis toujours leur en-tête.

Modèle fictif : \(X\sim\mathcal N(10,4)\). Calcule \(P(8\le X\le12)\).

Approcher une binomiale sans confondre les lois

Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\), on peut approcher par \(Y\sim\mathcal N(np,np(1-p))\) lorsque les effectifs attendus des deux issues sont suffisamment grands. Un repère enseigné par Penn State est \(np\ge5\) et \(n(1-p)\ge5\) ; ce n’est pas une garantie d’erreur pour toutes les probabilités. Le théorème central limite explique l’amélioration de la forme normalisée lorsque le nombre d’épreuves indépendantes identiques augmente, à \(p\) fixé strictement entre zéro et un.

La correction de continuité remplace l’intervalle entier \(a\le X\le b\) par \(a-0{,}5\le Y\le b+0{,}5\). On écrit une approximation, pas une égalité de lois.

Exercice fictif : \(X\sim\mathcal B(100,0{,}5)\). Approche \(P(40\le X\le60)\).

Erreurs fréquentes

Résumé

Choisis la loi et ses paramètres, standardise, puis précise si le résultat est exact ou approché.

Cartes mémo

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