Objectifs

• Définir une onde mécanique progressive périodique et sinusoïdale.
• Définir la période \(T\), la fréquence \(f\) et la longueur d’onde \(\lambda\).
• Comprendre la double périodicité : dans le temps et dans l’espace.
• Établir et utiliser la relation \(\lambda = v \times T = \dfrac{v}{f}\), avec les bonnes unités.

1. L’onde périodique et sa période \(T\)

Une onde mécanique progressive est la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel (eau, corde, air…), sans transport de matière mais avec transport d’énergie. La pirogue monte et descend, mais elle n’avance pas avec la vague.

L’onde est périodique si la perturbation se répète identique à elle-même à intervalles de temps réguliers. Si la forme est une sinusoïde, on parle d’onde sinusoïdale.

• La période \(T\) est la plus petite durée au bout de laquelle un point du milieu retrouve le même état de vibration. Elle s’exprime en secondes (s).
• La fréquence \(f\) est le nombre de périodes par seconde, en hertz (Hz) :

\[ f = \frac{1}{T} \qquad \text{et} \qquad T = \frac{1}{f} \]

2. La longueur d’onde \(\lambda\) : la période dans l’espace

La longueur d’onde \(\lambda\) (lettre grecque « lambda ») est la plus petite distance qui sépare deux points du milieu qui vibrent en phase (dans le même état au même instant), par exemple deux crêtes voisines. Elle s’exprime en mètres (m).

Deux points séparés par une distance égale à un nombre entier de longueurs d’onde (\(d = k\lambda\), \(k\) entier) vibrent en phase. Deux points séparés par un nombre impair de demi-longueurs d’onde (\(d = (k + \tfrac{1}{2})\lambda\)) vibrent en opposition de phase : quand l’un est sur une crête, l’autre est dans un creux.

3. La relation \(\lambda = v \times T\)

Pendant une période \(T\), la source crée exactement une « ondulation » complète, et la perturbation avance à la célérité \(v\). La distance parcourue pendant \(T\) est donc une longueur d’onde :

\[ \lambda = v \times T = \frac{v}{f} \]

• \(\lambda\) : longueur d’onde en mètres (m) ;
• \(v\) : célérité (vitesse de propagation) en mètres par seconde (\(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) ;
• \(T\) : période en secondes (s) ; \(f\) : fréquence en hertz (Hz).

Manipule l’onde

Le graphique montre l’allure de la corde à l’instant \(t\) pour une onde de période \(T = 1\ \text{s}\). Le curseur l règle la longueur d’onde (en m), le curseur t fait avancer le temps (en s), le curseur a règle l’amplitude. Fais varier \(t\) de 0 à 1 s : la courbe avance exactement d’une longueur d’onde. Avec \(T = 1\ \text{s}\), la célérité vaut donc \(v = \lambda / T\), numériquement égale à \(l\).

4. Exemples résolus

Exemple 1 : une corde secouée

Kofi agite l’extrémité d’une longue corde avec une période \(T = 0{,}40\ \text{s}\). L’onde se propage à \(v = 2{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Calcule la longueur d’onde.

Exemple 2 : le « la » du diapason

Un diapason émet un son de fréquence \(f = 440\ \text{Hz}\) dans l’air, où le son se propage à environ \(v = 340\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Calcule la période puis la longueur d’onde de ce son. Cherche d’abord !

Exemple 3 : la houle à Lomé

Sur la plage de Lomé, Nadia observe que les crêtes des vagues sont distantes de 12 m et qu’une crête atteint la côte toutes les 4,0 s. Quelle est la célérité de la houle ?

5. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Période \(T\) (s) : périodicité dans le temps ; fréquence \(f = 1/T\) (Hz).
• Longueur d’onde \(\lambda\) (m) : périodicité dans l’espace, distance entre deux points en phase.
• Relation fondamentale : \(\lambda = v \times T = v / f\).
• La source fixe \(f\) ; le milieu fixe \(v\) ; \(\lambda\) en découle.