Définition

Dans l'étude d'une fonction ou d'un ensemble de nombres, on peut déterminer deux types de valeurs :

• Majorant : une valeur qui est supérieure ou égale à tous les éléments d’un ensemble ou à la valeur de la fonction sur un intervalle.
• Minorant : une valeur qui est inférieure ou égale à tous les éléments de l’ensemble ou à la valeur de la fonction sur un intervalle.

Exemples

Considérons la fonction \(f(x) = 2x + 1\) sur l’intervalle \([0, 3]\).

• La valeur minimale de \(f(x)\) sur cet intervalle est \(f(0) = 1\), c’est donc un minorant.
• La valeur maximale de \(f(x)\) est \(f(3) = 7\), c’est donc un majorant.

Ainsi, sur cet intervalle : \[ oxed{1 \leq f(x) \leq 7} \]

Représentation graphique

Sur un graphique, le majorant peut être représenté par une ligne horizontale au-dessus de la courbe, et le minorant par une ligne en dessous.

Exemple : pour la fonction \(f(x) = x^2\) sur \([1, 3]\), le minorant est \(f(1) = 1\) et le majorant est \(f(3) = 9\).

Utilité

Les majorants et minorants permettent d’avoir une idée précise des extrêmes d’une fonction ou d’un ensemble de nombres, et sont essentiels pour l’étude de la limite, la continuité et l’optimisation.