Manipulation des nombres négatifs et racines carrées

Ce cours explique comment manipuler les nombres négatifs et les racines carrées en mathématiques.

Objectifs

Comprendre comment manipuler les nombres négatifs dans les calculs.
Maîtriser le calcul des racines carrées, notamment la racine carrée d’un nombre positif.
Savoir éviter les erreurs fréquentes lors de ces manipulations.

Nombres négatifs : un nombre inférieur à zéro.
Racine carrée : pour un nombre positif \(a\), la racine carrée est le nombre \(x\) tel que \(x^2 = a\).

Les nombres négatifs se manipulent comme les autres mais avec quelques règles :

Le produit de deux nombres négatifs donne un positif : \[ (-a) \times (-b) = a \times b \]
Le produit d’un négatif par un positif donne un négatif : \[ (-a) \times b = - (a \times b) \]
Pour additionner un nombre négatif, on revient à faire une soustraction : \[ 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 \]

Calculons \(\begin{align} & (-4) \times 3 = - (4 \times 3) = -12 \end{align}\)

Que vaut \(\begin{align} & (-6) + 4 \end{align}\)

On calcule : \(-6 + 4 = - (6 - 4) = -2\).

Voir la solution

La réponse correcte est la réponse 2, car : \(-6 + 4 = - (6 - 4) = -2\).

La racine carrée d’un nombre \(a\) est le nombre positif \(x\) tel que : \[ x^2 = a \]

Calculons \(\sqrt{16}\)

La réponse est \(\begin{align} & 4 \end{align}\), car \(\begin{align} & 4^2 = 16 \end{align}\).

Il n’est pas correct de dire que \(\sqrt{25} = -5\), car \(\sqrt{a}\) désigne la racine positive.

Chercher un nombre dont le carré donne le nombre sous la racine.

Vérifier en élevant ce nombre au carré.

Voir la méthode étape par étape

Par exemple, pour \(\sqrt{49}\), on cherche un nombre \(x\) tel que \(x^2=49\). On teste \(x=7\), donc \(\sqrt{49}=7\).

Quelle est la racine carrée de 36 ?

La racine carrée est positive, donc c’est 6.

Voir la solution

La bonne réponse est 1, car \(\sqrt{36} = 6\).

Confondre racine carrée avec le carré d’un nombre ; \(\sqrt{a^2} \neq a\) forcément si \(a\) est négatif.
Oublier que la racine carrée est toujours positive, sauf si on précise le contraire.
Faire l’erreur de donner \(\pm\) la racine carrée, alors que par définition, \(\sqrt{a}\) est positif.
Signaler une erreur en cas d'opérations avec des nombres négatifs et des racines :

Les nombres négatifs sont manipulés avec des règles de signes simples.
La racine carrée d’un nombre positif est toujours positive et correspond à la racine principale.
Attention aux erreurs de signe, surtout lors de calculs plus complexes.