Matématiques : Logique et Raisonnement

Les différents types de raisonnement

En mathématiques, le raisonnement permet de tirer des conclusions à partir d'énoncés. Voici trois principaux types :

1. La disjonction de cas

Ce raisonnement consiste à considérer plusieurs cas possibles pour démontrer une assertion. Si l’on peut prouver que l’affirmation est vraie dans chaque cas, alors elle est vraie en général.

Exemple : Pour prouver qu’une fonction est positive, on peut examiner :

• le cas où \(x > 0\),
• le cas où \(x < 0\),
• et le cas où \(x = 0\).

Si l’affirmation est vraie dans chaque cas, alors elle est vraie pour tous les \(x\).

2. La méthode par l’absurde

Ce raisonnement consiste à supposer que l’énoncé à démontrer est faux, puis à arriver à une contradiction. La contradiction montre que la supposition initiale est fausse, donc que l’énoncé est vrai.

Exemple : Montrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel :

• Supposons que \(\sqrt{2}\) soit rationnel, c’est-à-dire qu’on puisse écrire \(\sqrt{2} = rac{a}{b}\) avec \(a, b\) entiers premiers entre eux.
• En élevant au carré : \(2 = rac{a^2}{b^2}\) donc \(a^2 = 2b^2\).
• Cela implique que \(a^2\) est pair, donc \(a\) est pair. Disons \(a = 2k\).
• En remplaçant, on obtient \(4k^2 = 2b^2\), donc \(2k^2 = b^2\), ce qui montre que \(b^2\) est pair, donc \(b\) est pair.
• Mais cela contredit le fait que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. La conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

3. La contraposée

Ce raisonnement consiste à reformuler une implication: \(P \Rightarrow Q\) est équivalente à sa contraposée \( eg Q \Rightarrow eg P\).

Exemple : Montrer que si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 2 et par 3 :

• Équivalent à prouver : \( ext{si } n ext{ est divisible par 6} \Rightarrow (n ext{ est divisible par 2} ext{ et } n ext{ est divisible par 3})\).
• Sa contraposée : si \(n\) n’est pas divisible par 2 ou pas divisible par 3, alors \(n\) n’est pas divisible par 6.

En prouvant la contraposée, on prouve aussi l'implication initiale.

Résumé

• Disjonction de cas : Séparer en plusieurs cas et prouver dans chacun.
• Preuve par l’absurde : Supposer la négation pour trouver une contradiction.
• Contraposée : Reformuler une implication comme une autre pour la prouver plus facilement.