La racine carrée d'un nombre positif est la longueur du côté du carré ayant cette aire.

Racines carrées — notion et calculs (niveau 3ème)

Objectifs

Comprendre ce qu'est \(\sqrt{a}\) pour \(a\ge 0\).
Savoir simplifier une racine carrée quand possible (extraire les carrés parfaits).
Éviter les confusions entre signe et racine principale.

Notions clés

Définition

Définition : Pour tout réel \(a\ge 0\), la racine carrée de \(a\) est le nombre réel \(x\) tel que \(x\ge 0\) et \(x^2=a\). On le note \(\sqrt{a}\).

Propriétés principales

Quelques propriétés utiles :

Si \(a\ge 0\) alors \(\sqrt{a^2}=a\) (si \(a\ge 0\)).
Pour \(a,b\ge 0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\) et \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si \(b>0\).

La racine carrée transforme une aire (A) en longueur de côté.

Quel est le résultat de \(\sqrt{81}\) ?

-9
9
\(\pm 9\)

La racine principale est non négative, donc \(\sqrt{81}=9\).

Exemples résolus

Étape 1 — Reconnaître un carré parfait : \(36=6^2\).

Étape 2 — En déduire la racine principale : \(\sqrt{36}=6\).

Voir la solution

\begin{align} \sqrt{72} &= \sqrt{36\times 2} \\ &= \sqrt{36}\,\sqrt{2} \\ &= 6\sqrt{2} \end{align}

Quelle est la forme simplifiée de \(\sqrt{200}\) ?

\(10\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{50}\)
\(10\sqrt{2}\)

On utilise \(200=100\times 2\) donc \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\).

Erreurs fréquentes

Confondre \(\sqrt{a^2}\) (qui vaut \(|a|\)) et \(a\) sans vérifier le signe.
Tenter d'extraire une racine d'un nombre négatif sans passer aux nombres complexes (hors programme de 3ème).
Oublier de simplifier en extrayant les carrés parfaits.

Parmi ces égalités, laquelle est vraie pour tout réel \(x\) ?

\(\sqrt{x^2}=|x|\)
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{x^2}=-x\)

La racine principale donne la valeur absolue du nombre au carré : \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Récapitulatif

La racine carrée transforme une aire en longueur : pour \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre \(\ge 0\) dont le carré vaut \(a\). Pour simplifier une racine, extraire les carrés parfaits.

Définition

Pour \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) est le \(x\ge0\) tel que \(x^2=a\).

Propriété

Pour \(a,b\ge0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\).

Astuce

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre.