Matématiques - Notions de divisibilité, multiples, diviseurs, nombres premiers, pairs et impairs

1. Notions de base

Ce cours présente les concepts fondamentaux en arithmétique relatifs à la divisibilité, aux multiples, aux diviseurs, et aux propriétés des nombres entiers tels que pairs, impairs et premiers.

2. Multiple et diviseur

Définition de multiple

Un nombre \(b\) est un multiple d’un nombre \(a\) (noté \(a|b\)) si il existe un entier \(k\) tel que :

\[ b = a imes k \]

Par exemple, 20 est un multiple de 4 car :

\[ 20 = 4 imes 5 \]

Définition de diviseur

Un nombre \(a\) est un diviseur d’un nombre \(b\) (noté \(a|b\)) si il existe un entier \(k\) tel que :

\[ b = a imes k \]

Autrement dit, \(a\) divise \(b\) si \(b\) est un multiple de \(a\).

Exemple : 4 est un diviseur de 20 car :

\[ 20 = 4 imes 5 \]

3. Nombres premiers

Un nombre est premier s’il n’a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Exemple : 4 n’est pas premier car il a pour diviseurs 1, 2, 4.

4. Nombres pairs et impairs

Un nombre est pair s’il est divisible par 2 :

\[ n \equiv 0 \ ( ext{mod}\ 2) \]

Exemples : 2, 4, 6, 8, ...

Un nombre est impair s’il ne l’est pas :

\[ n ot\equiv 0 \ ( ext{mod}\ 2) \]

Exemples : 1, 3, 5, 7, ...

5. Résumé

• Un multiple de \(a\) est un nombre \(b\) tel que \(b = a imes k\).
• Un diviseur de \(b\) est un nombre \(a\) tel que \(b = a imes k\).
• Les nombres premiers ne possèdent que deux diviseurs positifs : 1 et eux-mêmes.
• Les nombres pairs sont divisibles par 2, les nombres impairs ne le sont pas.