1. Introduction aux suites numériques

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

Elle associe à chaque entier \( n \) un nombre réel \( u_n \).

Exemple : \( u_n = \dfrac{1}{n} \) ou \( u_n = 2n + 1 \).

2. Notion de limite d'une suite

La limite d'une suite \( (u_n) \) lorsque \( n \) tend vers \(\infty\), notée \( \lim_{n o \infty} u_n \), est le nombre \( L \) tel que, pour tout \( arepsilon > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que, pour tout \( n \geq N \), \( |u_n - L| < arepsilon \).

En termes simples, cela signifie que, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont proches de \( L \).

3. Exemple de limite

Considérons la suite \( u_n = \dfrac{1}{n} \).

En observant, on voit que lorsque \( n o \infty \), \( u_n o 0 \).

On dit que \( \lim_{n o \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \).

4. Loi de comportement des suites

• Suite convergente : elle admet une limite finie.
• Suite divergente : elle n'a pas de limite finie, elle peut tendre vers \( +\infty \), \( -\infty \), ou osciller.

5. Résumé

• Une suite numérique est une liste de nombres suivant un certain ordre.
• La limite d'une suite est le nombre vers lequel ses termes tendent lorsque \( n \) augmente.
• La compréhension des limites permet d'analyser le comportement à long terme des suites.