Mathématiques - Algèbre et équations

Développement et factorisation d’expressions polynomiales

Introduction

En 4ème, il est important de maîtriser le développement et la factorisation des expressions algébriques, indispensables pour simplifier des calculs et résoudre des équations.

1. Le développement

Le développement consiste à transformer un produit en somme ou différence de termes. Par exemple, pour développer l’expression \((x + 2)(x + 3)\), on utilise la distributivité :

\( (x + 2)(x + 3) = x imes x + x imes 3 + 2 imes x + 2 imes 3 \)

Ce qui donne :

\( x^2 + 3x + 2x + 6 \)

Et en regroupant les termes semblables :

\( x^2 + 5x + 6 \)

2. La factorisation

La factorisation est l'inverse du développement. Elle consiste à mettre une expression sous une forme factorisée, c’est-à-dire en produit de facteurs. Par exemple, pour factoriser \(x^2 + 5x + 6\), on cherche deux nombres dont la somme est 5 et le produit 6 :

• Les nombres 2 et 3.

On peut donc écrire :

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

3. Règles essentielles

• Produit notable : \(\left(a + b ight)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Différence de carrés : \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
• Factorisation d’un trinôme de degré 2 : Rechercher deux nombres dont la somme est le coefficient du terme en \(x\) et le produit le terme constant.

4. Exercices d’application

Développer :

• \( (x + 4)(x + 5) \)
• \( (2x - 3)(x + 1) \)

Factoriser :

• \( x^2 + 7x + 12 \)
• \( 4x^2 - 25 \) (différence de carrés)

Conclusion

Maîtriser ces méthodes permet de simplifier des expressions et d’aborder facilement la résolution d’équations. La pratique régulière est essentielle pour devenir à l’aise avec ces techniques.