Mesure en degrés et radians

Angle orienté et trigonométrie — Mesure en degrés et radians (2nde)

1. Angle orienté — rappel

Un angle orienté est déterminé par une rotation d'un demi-droite initiale vers une demi-droite image. Par convention:

une rotation dans le sens trigonométrique (antihoraire) est positive,
une rotation dans le sens horaire est négative.

On peut mesurer un angle avec différentes unités : degrés (°) ou radians (rad).

2. Définition du radian

Le radian est l'unité naturelle pour mesurer un angle à partir de l'arc qu'il intercepte sur un cercle de rayon 1 (le cercle trigonométrique).

Définition : un angle de 1 radian intercepte sur un cercle de rayon r un arc de longueur égale à r. Autrement dit, si l'arc a longueur s et le rayon r, l'angle θ (en radians) vérifie :

θ = s / r

3. Relation entre degrés et radians

Un tour complet correspond à 360° et aussi à 2π radians. D'où la formule de conversion :

π rad = 180°

Donc :

θ (en radians) = θ (en degrés) × π / 180 θ (en degrés) = θ (en radians) × 180 / π

4. Mesures usuelles

Degrés	Radians
0°	0
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
270°	3π/2
360°	2π

5. Exemples de conversions

Ex. 1 Convertir 45° en radians :

45° = 45 × π/180 = π/4

Ex. 2 Convertir 5π/6 en degrés :

5π/6 rad = 5π/6 × 180/π = 150°

Ex. 3 Convertir -30° en radians :

-30° = -30 × π/180 = -π/6

6. Utilité du radian en trigonométrie et calculs

Le radian rend naturelles les formules reliant fonctions trigonométriques et dérivées, et la formule de longueur d'arc :

s = r × θ (θ en radians)

Par exemple, sur le cercle unité (r = 1), l'arc correspondant à un angle de θ rad a pour longueur s = θ.

7. Remarques et bonnes pratiques

En exercice, vérifier toujours si l'angle demandé doit être en degrés ou en radians.
Pour les calculatrices, choisir le mode 'deg' ou 'rad' selon l'unité utilisée dans le calcul.
Pour simplifier, utiliser π comme symbole exact plutôt que sa valeur décimale sauf si une approximation est demandée.

8. Exercices rapides (niveau 2nde)

Convertir 120° en radians.
Convertir 7π/4 en degrés.
Calculer la longueur d'arc sur un cercle de rayon 5 cm pour un angle de π/3 radians.
Donner deux mesures différentes (une positive, une négative) en radians correspondant au même angle géométrique que 45°.

Corrigé

120° = 120 × π/180 = 2π/3.
7π/4 × 180/π = 315°.
s = rθ = 5 × π/3 = 5π/3 cm (≈ 5.236 cm si π ≈ 3.1416).
45° = π/4. Deux mesures en radians: π/4 (positive) et π/4 - 2π = -7π/4 (négative) ou π/4 + 2π = 9π/4.

9. Synthèse rapide

Pour passer des degrés aux radians multiplier par π/180. Les radians sont privilégiés en trigonométrie car ils relient directement l'angle à la longueur d'arc et simplifient les formules analytiques.