Définition du barycentre

Mathematiques - Barycentre : Définition du barycentre

Introduction

Le barycentre d'un ensemble de points est un concept géométrique important, utilisé pour déterminer le point moyen ou le centre de gravité d'une forme ou d'un système de points.

Définition du barycentre

Considérons un ensemble de points \( P_1, P_2, ..., P_n \) dans un plan ou dans l'espace. À chaque point \( P_i \) est associé un poids \( m_i \). Le barycentre est le point \(\mathcal{G}\) qui représente le centre de gravité de ces points lorsque ceux-ci sont répartis avec leurs poids respectifs.

Formellement, le barycentre \(\mathcal{G}\) est défini par ses coordonnées qui sont la moyenne pondérée des coordonnées des points, selon leur poids :

\[\mathcal{G} = \left( rac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i} , \ rac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i} ight)\]

où \( (x_i, y_i) \) désignent les coordonnées du point \( P_i \) et \( m_i \) leur poids respectif.

Remarques

Si tous les poids sont égaux, le barycentre est simplement le centre de gravité ou le centre de masse, c'est-à-dire la moyenne arithmétique des coordonnées.
Le concept s'étend également à plusieurs dimensions et à des formes continues, en utilisant les intégrales.